Probando $f: \Bbb{Z} \times\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}, \ f(a,b)=3a-2b$ es suryente sin utilizar la ecuación diofantina lineal

Question

Estoy haciendo un ejercicio en el que tengo que determinar si

$f: \Bbb{Z} \times\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}, \ f(a,b)=3a-2b$

es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Encontrar un contraejemplo para demostrar que no es inyectiva es bastante fácil. $f(2,1) = f(0,-2)$ y $(2,1)\ne(0,-2)$

Ahora, para la subjetividad:

Conociendo este teorema: $\exists (a,b) \in \Bbb{Z} \times\Bbb{Z} : xa+yb = c \iff (x : y) | c$

tenemos $(3:2) = 1$ y $1|z \ \forall z \ \in \Bbb{Z}$ y hemos terminado.

Pero en el libro donde encontré este ejercicio, las ecuaciones lineales diofantinas se introducen unos capítulos después de la sección que contiene este ejercicio . Así que Se supone que debo demostrar la subjetividad sin utilizar la solvencia de una ecuación diofantina lineal .

Tiene que haber una forma más "básica" de hacerlo utilizando sólo el siguiente contenido, que es el que recoge el libro hasta la página donde aparece este ejercicio:

• Definición de subconjunto y operaciones básicas entre subconjuntos (intersección, unión, diferencia simétrica, exclusión, etc.)
• Tablas de verdad y lógica proposicional
• Definición de producto cartesiano
• Definición de relaciones, reflexividad, simetría, antisimetría, transitividad. Relaciones de orden y equivalencia. Clases de equivalencia.
• Definición de una función. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Funciones inversas. Composición de funciones.

¿Cómo puedo demostrar que esta función es sobreyectiva sin utilizar el teorema que determina si una ecuación diofantina lineal es resoluble?

Answer 1

Sólo quería dar otra solución rápida: $$ f(a,a)=a\qquad\forall a\in\mathbb{Z} $$ que muestra la subjetividad y la no-injetividad (porque todos los $\mathbb{Z}$ ya está cubierto por los pares de la forma $(a,a)$ ) de una vez.

Answer 2

Dejemos que $n$ ser arbitrario. Si $n = 2k$ para algunos $k$ es decir, $n$ es par, entonces $f(0, -k) = n$ . Si $n = 2k + 1$ entonces $n = 2(k - 1) + 3$ Así que $f(1, 1 - k) = n$ .

Answer 3

¿Inducción matemática?

Caso base: $3a-2b=1\qquad \implies (a,b)=(1,1)$

Paso inductivo: supongamos que tenemos un $(a_0,b_0)\in \mathbb{Z}^2$ tal que $ \ \ 3a_0-2b_0=n\ \ \biggr{|} \ \exists n\in \mathbb{Z}$

Entonces $$3a_0-2b_0+(3-2)=n+(3-2)$$ $$3(a_0+1)-2(b_0+1)=n+1$$

Y efectivamente, gracias por el comentario lhf:

$$3a_0-2b_0-(3-2)=n-(3-2)$$ $$3(a_0-1)-2(b_0-1)=n-1$$

Por lo tanto, $3a-2b$ es totalmente en $\mathbb{Z}$