¿Puede una función tener rango de superposición?

Question

Considere la función $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $$f(x)=\left\{\begin{align}x^2 - 2 & \text{if}\,x > 0,\\ x - 1 & \text{if}\, x \le 0.\end{align}\right.$$ Encontrar una razón inversa de a $f$.

La respuesta que me vino a esta pregunta fue esta:

$$f(g(x)) = x$$ $$g(x) = \left\{\begin{align} \sqrt{x+2} & \text{if}\, x > -2,\\ x + 1 & \text{if}\, x\le -1.\end{align}\right.$$

Sin embargo, los rangos de $-1 \ge x > -2$ de solapamiento. Desde la definición de una función es que cada una de las $x$ mapas a sólo el 1$y$ si $x = -1$, entonces hay potencialmente un 2 $y$ que podría mapa a: $1$$0$. Así es este, por tanto, no es una función? ¿Cómo puede no ser la respuesta correcta?

Answer 1

Tienes razón en que su $g$ no es una función.

En la superposición de gama, usted necesita decidir lo que una de las dos ramas para elegir.

Solución:

Por ejemplo, usted puede elegir $$g(x)=\left\{\begin{align}\sqrt{x+2} & \text{if}\,x>-2\\ x+1 & \text{if}\,x\le -2\end{align}\right.$$

Ahora supongamos que $x>-2$. A continuación, $\sqrt{x+2}>0$ y, por tanto,$f(g(x))=f(\sqrt{x+2})=(\sqrt{x+2})^2-2=x$.

Supongamos que $x\le -2$. A continuación,$x+1\le -1\le 0$. Por lo $f(g(x))=f(x+1)=(x+1)-1=x$.

En total, $g$ es un derecho inversa de a $f$.

En el rango de $-2$ $-1$usted es libre de elegir cualquiera de las dos ramas.

Cada elección (incluso si es diferente en cada punto, es decir, si tienes que saltar entre las ramas todo el tiempo) le dará a usted un derecho inversa.