Axiomas falsos (ified)

Question

Realmente no sé cómo a título de uno. Estoy trabajando en un análisis real de la pregunta que dice:

En una frase, escriba la razón por la $(1=2)\land (2=3)\to (1=3)$ (y similares sustituciones) no conducen a falsas declaraciones cuando usamos el axioma de transitividad en otras pruebas?

La pregunta hace referencia a una pregunta anterior, donde se define el axioma de transitividad a ser $\forall x\forall y\forall z (x=y)\land(y=z)\to(x=z)$, pero luego afirma que si elegimos $x=1,y=2,z=3$ el teorema de da $1=3$.

La pregunta también nos invita a considerar cómo modus ponens se usan en las pruebas.

La idea que tengo en mi mente es que, por el teorema de ser utilizado por primera los valores que el sustituto debe ser cierto para el teorema de decir, porque el teorema de los estados $x=y$, pero los valores que elija tiene $x\ne y$, entonces el teorema no se puede utilizar. Pero no estoy convencido de que este es lo suficientemente concisa para o que tenga para otras pruebas cuando el uso de este y de otros axiomas. Con respecto al modus ponens, a mi entender fue que si asumimos $A$ a ser verdad y $ A\to B$, entonces podemos inferir $B$ es cierto, pero no estoy 100% seguro de cómo esto se puede aplicar cuando los 3 valores son elegidos algo al azar para ser utilizado.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Este es un ejemplo de la necesidad de tener cuidado al leer las declaraciones lógicas. En esta afirmación, lo que dice es que

"si 1 = 2 y 2 = 3, entonces 1 = 3". ¿1 = 2? No. Por lo tanto, la declaración no es falsa. Siempre que$1\neq 2$ o$2\neq 3$, esta declaración sea verdadera de forma predeterminada.

Es como decir "si los cerdos vuelan, entonces seré el tío de un mono". Esa afirmación es cierta, no porque sea el tío de un mono, sino porque los cerdos no vuelan.

Answer 2

Como Glen puntos, el conjunto de la declaración:

$$\text{$\bf Si$}\;\;1=2\;\;\text{and}\;\; 2= 3,\;\;\text{$\bf, a continuación,$}\;\; 1 = 3\tag{1}$$

es cierto, por las razones que Glen le da. Tenemos $F\implies F$, lo que se evalúa como true.

Sin embargo, de ello no se sigue que $(2 = 3)\;\;$ es cierto. I. e., $(1)$ no nos da $1 = 3$. Esto sólo nos da:

$$\text{$\bf Si$}\;\;1=2\;\;\text{and}\;\; 2= 3,\;\;\text{$\bf, a continuación,$}\;\; 1 = 3\tag{1}$$

¿Por qué no nos dan de que, en realidad, $1 = 3$? Aquí es donde modus ponens viene al rescate (o, más bien, la imposibilidad de aplicar válidamente modus ponens salva el día).

Para concluir, por tanto,$1 = 3$, necesitaríamos la verdad de $1 = 2 \land 2 = 3$, junto con $(1)$, y aplicando el modus ponens, consigue $1 = 3$.

Pero no tenemos la verdad de $1 = 2 \land 2 = 3$, de modo que no se puede aplicar el modus ponens a la conclusión de que en el hecho de $1 = 3$.

Así que nos quedamos con nada más que la siguiente proposición, como un todo, es cierto:

$$\text{$\bf Si$}\;\;1=2\;\;\text{and}\;\; 2= 3,\;\;\text{$\bf, a continuación,$}\;\; 1 = 3$$

y a partir de este solo, se puede concluir que $\;1 = 3$ es cierto

Answer 3

Dado que$1\neq 2$ y$2\neq 3$, nunca podría aplicar$(1=2)\wedge (2=3)\rightarrow 1=3$, por lo que no se debe hacer daño al tenerlo como un axioma o teorema.