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Tipos de convergencia XnX bajo el cual X es independiente de Y

No encuentro este tipo de resultados en ningún sitio, así que voy a preguntar aquí.

Dejemos que {Xn}n0 las variables aleatorias sean independientes de Y para todos n . Bajo qué tipos de convergencia XnX es X independiente de Y ? ¿Y por qué?

4voto

Reto Meier Puntos 55904

Supongamos que {Xn} es independiente de Y en el sentido de que para cualquier n el vector aleatorio (X1,,Xn) es independiente de Y . Entonces se deduce que el σ -campo σ(X1,X2,) generado por todos los Xn también es independiente de Y . (Nuestra suposición nos da que para cada n El σ -campo σ(X1,,Xn) es independiente de Y . Una clase monótona o π - λ nos permite concluir que σ(nσ(X1,,Xn))=σ(X1,X2,) también es independiente de Y .)

Si XnX seguramente, entonces X es en sí mismo σ(X1,X2,) -medible (un límite de funciones medibles es medible). Por lo tanto, X es independiente de Y . Lo mismo ocurre si XnX casi seguro.

Si XnX en probabilidad, podemos encontrar una subsecuencia XnkX casi con seguridad, así que por el resultado anterior X es de nuevo independiente de Y . Esto también cubre el caso de que XnX en Lp para algunos p1 .

La convergencia débil (también conocida como convergencia en la distribución) no es suficiente, ya que sólo determina la variable aleatoria límite hasta la igualdad en la distribución. Por ejemplo, dejemos que X1,X2,,Y sea iid con una distribución no constante. De la definición se deduce que XnY débilmente, pero Y no es independiente de sí mismo.

Editar : En su comentario más abajo, Did señala la siguiente prueba alternativa, que también cubre el caso en el que simplemente suponemos que para cada n , Xn es independiente de Y . Supongamos que u,v son funciones continuas acotadas; por independencia, E[u(Xn)v(Y)]=E[u(Xn)]E[v(y)] . Utilizando el teorema de convergencia dominada, pasamos al límite para obtener E[u(X)v(Y)]=E[u(X)]E[v(Y)] . Por un argumento de clase monótona, esto también es válido para u,v cualquier función medible acotada, y por tanto X y Y son independientes. Como antes, este argumento funciona directamente cuando XnX casi con seguridad, y al pasar a una subsecuencia también funciona cuando XnX en probabilidad o en Lp .

1voto

lowglider Puntos 562

Sólo para completar la respuesta de Nate, observe que la convergencia de {Xn} puede depender de Y aunque cada Xn es individualmente independiente de Y .

Para un ejemplo trivial, dejemos que X0 y Y sean independientes y estén distribuidos uniformemente sobre {1,1} y que Xn=YXn1 para n>0 . Es fácil ver que cada Xn es individualmente independiente de Y . Evidentemente, si Y=1 entonces Xn=Xn1=X0 para todos n>0 y la secuencia converge en cualquier sentido que se quiera nombrar; mientras que, si Y=1 entonces Xn=Xn1 y no lo hace.

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