Tipos de convergencia $X_n \to X$ bajo el cual $X$ es independiente de $Y$

Question

No encuentro este tipo de resultados en ningún sitio, así que voy a preguntar aquí.

Dejemos que $\{X_n\}_{n \geq 0}$ las variables aleatorias sean independientes de $Y$ para todos $n$ . Bajo qué tipos de convergencia $X_n \to X$ es $X$ independiente de $Y$ ? ¿Y por qué?

Answer 1

Supongamos que $\{X_n\}$ es independiente de $Y$ en el sentido de que para cualquier $n$ el vector aleatorio $(X_1, \dots, X_n)$ es independiente de $Y$ . Entonces se deduce que el $\sigma$ -campo $\sigma(X_1, X_2, \dots)$ generado por todos los $X_n$ también es independiente de $Y$ . (Nuestra suposición nos da que para cada $n$ El $\sigma$ -campo $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ es independiente de $Y$ . Una clase monótona o $\pi$ - $\lambda$ nos permite concluir que $\sigma\left(\bigcup_n \sigma(X_1, \dots, X_n)\right) = \sigma(X_1, X_2, \dots)$ también es independiente de $Y$ .)

Si $X_n \to X$ seguramente, entonces $X$ es en sí mismo $\sigma(X_1, X_2, \dots)$ -medible (un límite de funciones medibles es medible). Por lo tanto, $X$ es independiente de $Y$ . Lo mismo ocurre si $X_n \to X$ casi seguro.

Si $X_n \to X$ en probabilidad, podemos encontrar una subsecuencia $X_{n_k} \to X$ casi con seguridad, así que por el resultado anterior $X$ es de nuevo independiente de $Y$ . Esto también cubre el caso de que $X_n \to X$ en $L^p$ para algunos $p \ge 1$ .

La convergencia débil (también conocida como convergencia en la distribución) no es suficiente, ya que sólo determina la variable aleatoria límite hasta la igualdad en la distribución. Por ejemplo, dejemos que $X_1, X_2, \dots, Y$ sea iid con una distribución no constante. De la definición se deduce que $X_n \to Y$ débilmente, pero $Y$ no es independiente de sí mismo.

Editar : En su comentario más abajo, Did señala la siguiente prueba alternativa, que también cubre el caso en el que simplemente suponemos que para cada $n$ , $X_n$ es independiente de $Y$ . Supongamos que $u,v$ son funciones continuas acotadas; por independencia, $E[u(X_n) v(Y)] = E[u(X_n)] E[v(y)]$ . Utilizando el teorema de convergencia dominada, pasamos al límite para obtener $E[u(X) v(Y)] = E[u(X)] E[v(Y)]$ . Por un argumento de clase monótona, esto también es válido para $u,v$ cualquier función medible acotada, y por tanto $X$ y $Y$ son independientes. Como antes, este argumento funciona directamente cuando $X_n \to X$ casi con seguridad, y al pasar a una subsecuencia también funciona cuando $X_n \to X$ en probabilidad o en $L^p$ .

Answer 2

Sólo para completar la respuesta de Nate, observe que la convergencia de $\{X_n\}$ puede depender de $Y$ aunque cada $X_n$ es individualmente independiente de $Y$ .

Para un ejemplo trivial, dejemos que $X_0$ y $Y$ sean independientes y estén distribuidos uniformemente sobre $\{-1, 1\}$ y que $X_n = YX_{n-1}$ para $n > 0$ . Es fácil ver que cada $X_n$ es individualmente independiente de $Y$ . Evidentemente, si $Y = 1$ entonces $X_n = X_{n-1} = X_0$ para todos $n > 0$ y la secuencia converge en cualquier sentido que se quiera nombrar; mientras que, si $Y = -1$ entonces $X_n = -X_{n-1}$ y no lo hace.