Dado que A, B y C no se encuentran en la misma línea ... encuentra el área del triángulo ABC.

Question

\begin{array} { c } { \text { Given that } A , B \text { and } C \text { do not lie on the same line.If } \vec { O A } + \vec { O B } + \vec { O C } = 0 , | \vec { O A } | = \sqrt { 6 } \text { , } } \\ { | \vec { O B } | = 2 \text { and } | \vec { O C } | = \sqrt { 14 } , \text { find the area of } \triangle A B C . } \end{formación}

Encontré este problema en línea y no estoy seguro de qué debo hacer. He intentado algunas transformaciones geométricas pero no pude encontrar la respuesta. Supongo que no es tan fácil como pensé al principio.

Answer 1

La condición dada se puede reescribir así $$O = {1\over 3}(A+B+C)=G$$so $ O$ is actualy gravity center for $ ABC$. If we reflect $ G$ across the midpoint of $ BC$ we get $ G '$. Given lenghts are side lenghts of a triangle $ BG' G$ which is 3 times smaller then $ ABC $ y ya está.

Answer 2

Wlog $B=(2,0)$, $A=(x,y)$ con $x^2+y^2=6$, $C=(u,v)$ con $u^2+v^2=14$. Por otra parte, $x+u+2=0$ e $y+v=0$. Esto nos permite eliminar $u,v$: $$ \begin{align}x^2+y^2&=6\\(x+2)^2+y^2&=14\\\implies\qquad 4x+4=14-6\end{align}$$ y así $$ x=1,\;u=-3,\;y=\pm\sqrt 5,v=\mp\sqrt 5.$$ De $y+v=0$, llegamos a la conclusión de que $BC$ cruza la $x$-eje en $\frac{x+u}{2}=-1$. Por lo tanto el $x$-eje se divide $ABC$ en dos triángulos de la longitud de la base $3$ y la altura de la $\sqrt 5$. El área es, por tanto, $3\sqrt5$.