Necesita ayuda para formalizar oraciones lógicas proposicionales simples.

Question

Soy un principiante en el aprendizaje acerca de la lógica proposicional y de cómo formalizar las sentencias.

Actualmente estoy trabajando a través de las siguientes oraciones y las traduce a instrucciones lógicas.

• $p$ significa "Emily es feliz"
• $q$ significa "Emily pinta un cuadro"
• $r$ significa "David es feliz"

1. Si Emily es feliz entonces Emily pinta un cuadro.

Este es $p \implies q$.

2. Si Emily es feliz y pinta un cuadro, a continuación, David no es feliz.

Este es $[p ∧ q] \implies ¬r$.

3. David y Emily no puede ser feliz.

Estoy atascado en esta última.

Me estoy dando cuenta que es difícil entender cómo ir sobre la formalización de la última frase. Estaba pensando que puede incluir la negación de ambos $p$ e $r$ pero la palabra "no" algo tira de mí un poco. Alguna sugerencia? Lo siento si es muy obvio, pero realmente estoy empezando!

Answer 1

Puedo entender que el uso de 'no' es un poco confuso ... parece ser más fuerte que decir que David y Emily no son felices: ellos no pueden ambos ser feliz ahora, seguro, pero para decir que ellos no pueden ambos ser feliz parece decir que ellos no pueden nunca tanto ser feliz, es decir, que es imposible tanto para ser feliz.

De hecho, en lógica modal puede expresar estos tipos de fuertes reclamos, donde:

$\square P$ significa que "es necesario que P es verdadero"

$\Diamond P$ significa que "es posible que P es verdadero"

El uso de los símbolos, la traducción de "David y Emily no puede ser feliz" se puede hacer como:

$\neg \Diamond (r \land p)$

o, de manera equivalente:

$\square \neg (r \land p)$

Pero, supongo que no están actualmente haciendo cualquier modelo de la lógica a todo, ya estás empezando en lógica proposicional. Como tal, usted realmente debe tratar la frase como "David y Emily no son felices"

Bueno para usted para darse cuenta de que esas dos frases no son exactamente la misma cosa, aunque!!

Answer 2

La última frase significa que la declaración "David está feliz y Emily está feliz" es falsa. Por lo tanto, es equivalente a $\overline{p \wedge r}$ , o $\bar p \vee \bar r$ .

Answer 3

Si David y Emily no puede ser feliz, entonces este sería uno de los siguientes medios de la escritura.

$$\neg [p \land r]$$

es decir, la negación de ambos, David y Emily ser feliz. Ya que no puede ser feliz, entonces la declaración de ambos son felices es falso, y por lo tanto el uso de la negación.

En teoría podría utilizar cada uno de los casos posibles en una especie de lista, separados por "o" de los operadores. Si David y Emily no puede ser feliz, entonces Emily es feliz, pero David no, David es feliz, pero Emily no está, ni tampoco lo son. En el que caso de que esto podría ser catalogado como

$$[\neg p \land r] \lor [p \land \neg r] \lor [\neg p \land \neg r]$$

Una tercera manera de escribir: desde que Emily o David no puede ser feliz, eso significa que al menos uno es infeliz. Es decir, de David es infeliz, o Emily es infeliz, o posiblemente ambos (pero no hay necesidad de dar cuenta de esta en esta forma de escritura). Así que otro tome en esto es

$$\neg p \lor \neg r$$

Me imagino que la primera y la tercera sería la "intención" de respuestas para un ejercicio de este tipo, ya que son los más compactos. También muestran un buen igualdad que vale la pena tener en cuenta:

$$\neg [p \land r] = \neg p \lor \neg r$$

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(Nota: a lo largo de este post, $\neg$ es utilizado como la "negación" del operador, ya que he visto un par de notas diferentes.)