¿Un conjunto de medida cero en$\mathbb{R}$ está totalmente desconectado?

Question

Deje $M \subset \mathbb{R}$ ser un conjunto no vacío de medida de Lebesgue cero. De lo anterior se sigue que $M$ está totalmente desconectado en el sentido de que para cualquier $x<y$, $x,y\in M,$ existe $z\notin M$ tal que $x<z<y$?

Creo que la respuesta a la pregunta es sí, ya que de lo contrario se podría argumentar por la contradicción y dicen que entonces existe un intervalo contenido en $M$ , con lo cual no tiene medida cero.

---

Es el razonamiento sobre el sonido? También simplemente como el lado de la pregunta, la conectividad de conjuntos no vacíos no implica una medida positiva en $\mathbb{R}^n$, ya que una línea en $\mathbb{R}^2$ está conectado y tiene medida cero, ¿verdad?

---

Gracias por su tiempo y agradezco cualquier comentario.

Answer 1

Tiene razón: dado que, en $\mathbb R$ , los conjuntos conectados no vacíos son los intervalos y dado que los intervalos no degenerados tienen una medida positiva, un conjunto con medida $0$ no puede contener un intervalo no degenerado y por lo tanto está totalmente desconectado.

Usted también tiene razón sobre $\mathbb{R}^n$ , cuando $n>1$ .