(Limite de

Question

He estado luchando con este término por un tiempo: $$\lim \limits_{x \to\infty} (\frac{x}{1-x})^{2x}$ $

Sé que tiene que hacer algo con $\lim \limits_{x \to\infty} (1+\frac{n}{x})^x=e^n$ pero no llegó más allá de esto: $$\lim \limits_{x \to\infty} (1+ \frac{2x-1}{1-x})^{2x} = \lim \limits_{x \to\infty} (1+ \frac{2x-1}{1-x})^{1-x})^{\frac{2x}{1-x}} \overset{?}{=} e^{2x-1 {\lim \limits_{x \to\infty} \frac{2x}{1-x}}} $ $

Answer 1

Como $\frac{x}{1-x}\lt0$ para $x\gt1$ , este límite no existe a menos que se especifique $x\in\mathbb{Z}$ (de modo que el exponente sea un entero par). Sin embargo, $$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)^{2x} &=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x-1}\right)^{2x-2}\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x-1}\right)^2\\ &=e^2\cdot1 \end {align} $$