¿He probado en ZF$\aleph (X) \lt \aleph (\mathscr P^3(X))$?

Question

Como un recordatorio, he sido abogado durante más de 25 años después de que el rescate de la escuela de postgrado. Recientemente he vuelto a adquirir el gusanillo de hacer matemáticas. A tal fin, he sido (lentamente) el trabajo a través de la Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas por Kunen. Este es el Problema 12(a) del Capítulo 1. He sido a través de las preguntas que aquí (y en otros sitios) pero no veo suficientemente clara en la declaración de la prueba para tener la confianza de que tengo este derecho. Así que aquí va.

Trabajo en ZF (no asumiendo AC), se define Hartog s $\aleph$-función a través de:

$$\aleph(X) = \cup \{ \alpha ~|~ \exists f: \alpha \rightarrow X \text{ with }f \text{ 1-1}\}.$$

Para probar: $\aleph(X) \lt \aleph(\mathscr P^3(X))$.

Nota: Kunen comentarios de que es más fácil demostrar $\aleph(X) \lt \aleph(\mathscr P^4(X))$. Estoy bastante seguro de que me vea. Deje $R$ estar bien-pedido de $Y \subseteq X$. A continuación, $R \in \mathscr P^3(X)$ y podemos definir

$$T_\alpha = \{R \in \mathscr P^3(X)~|~\exists Y \subseteq X \text{ such that }R \text{ is a well ordering of } Y \text{ with order type } \alpha \} \in \mathscr P^4(X).$$

$T_\alpha$ no está vacía de cualquier $\alpha \lt \aleph(X)$ debido a que por la definición de $\aleph(X)$ hay un $1-1$ mapa de $f:\alpha \rightarrow X$ que define un orden de tipo $\alpha$ a $f(\alpha) \subseteq X$. A continuación, $f: \aleph (X) \rightarrow \mathscr P^4(X)$ definido por $f(\alpha) = T_\alpha$ es una inyección, lo que demuestra la desigualdad. Pero eso no es el resultado que se pide demostrar.

Reanudar: Vamos a $R$ estar bien el fin de un subconjunto de a$X$. Definimos un conjunto que contiene todos los segmentos inicial de $R$:

$$S_R = \{Y \subseteq \text{ dom}(R)~|~Y \text{ is an initial segment of dom}(R) \text{ under } R\} \in \mathscr P^2(X).$$

Definir $T(R)$ como el único ordinal $\alpha$ que se asigna a $X$ , precisamente, con $S_R$ como sus segmentos inicial.

Definir $Z(\alpha) = \{S_R~|~T(R) = \alpha \} \in \mathscr P^3(X)$. A continuación, $Z:\aleph(X) \rightarrow \mathscr P^3(X)$ es $1-1$ e $\aleph(\mathscr P^3(X)) \gt \aleph(X)$ como se requiere.

Es esta una correcta prueba? He elide cualquiera de los pasos que no son (o al menos no debería) obvio? Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, la prueba está bien. Pero se puede simplificar un poco.

Lema. Si $f\colon A\to B$ es surjective, entonces es inyectiva $g\colon B\to\mathcal P(A)$.

Esto es fácil de demostrar, de hecho, usted puede definir $g$ de $\mathcal P(B)$. Y nos da el siguiente corolario.

Corolario. Si hay un surjective función de $f\colon A\to\aleph(B)$, a continuación, $\aleph(B)<\aleph(\mathcal P(A))$.

Ahora, ¿por qué nos importa eso? Bien, porque es fácil definir una surjection de $\mathcal P^2(X)$ a $\aleph(X)$:

$$f(\mathscr C)=\begin{cases}\operatorname{otp}(\mathscr C) & (\mathscr C,\subsetneq)\text{ is well-ordered}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Este es un surjection, ya que si $f\alpha\to X$ es inyectiva, se define una cadena de subconjuntos que es isomorfo a $\alpha$ través $f$.

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Alternativamente, definir $T_\alpha$ a ser el conjunto de todas las cadenas de subconjuntos de a$X$ de tipo de orden $\alpha$ por $\subsetneq$, lo $T_\alpha\in\mathcal P^3(X)$, e $g(\alpha)=T_\alpha$ es una inyección de $\aleph(X)$.

(La prueba es la misma que la anterior.)

Es sólo un poco más limpio y no requiere que usted para analizar los dominios de las relaciones, etc.