Desigualdad que implica producto interior y norma.

Question

Si $\|\cdot \|$ es la norma inducida por el producto interior $\langle,\rangle$, cómo demostrar los siguientes interesante la desigualdad? $$\langle x,y\rangle(\|x\|+\|y\|) \leq\|x+y\|\,\|x\|\,\|y\|$$

Este es un ejercicio en mi libro de texto que está disponible sólo en portugués llamado "Topologia e Análise no Espaço $\mathbb{R}^n$". La desigualdad anterior es evidente cuando los $\langle x,y\rangle \leq 0$, pero no sé cómo proceder para demostrar que el otro caso.

Answer 1

Si $\langle x,y \rangle \leq 0$ , entonces el resultado claramente se mantiene. De lo contrario, suponga $\langle x,y \rangle >0$ .

$$\frac{{\| x+y \|}^2}{(\| x \| + \| y \| )^2} = \frac{{\| x \|}^2 + {\| y \|}^2 +2\langle x,y \rangle}{{\| x \|}^2 + {\| y \|}^2 + 2 \| x \| \| y \|} \geq \frac{2 \langle x,y \rangle }{2 \| x \| \| y \|} = \frac{\langle x,y \rangle }{\| x \| \| y \|} \geq \frac{{ \langle x,y \rangle }^2}{{\| x \|}^2 {\| y \|}^2}$$ where the inequality comes from $ \ frac {| \ langle x, y \ rangle |} {\ | x \ | \ | y \ |} \ leq 1 $ (la ineqaulity de Cauchy-Schwarz).

Saca la raíz cuadrada de ambos lados para obtener el resultado: $$ 0 \leq \frac{\langle x,y \rangle}{\| x \| \| y \|} \leq \frac{\| x+y \|}{\| x \| + \| y \|} \leq 1.$ $

Answer 2

Necesitamos demostrar que $$\|x+y\|\left(\|x\|\|y\|-\langle x,y\rangle\right)\geq\langle x,y\rangle\left(\|x\|+\|y\|-\|x+y\|\right)$ $ o $$\left(\|x\|+\|y\|+\|x+y\|\right)\|x+y\|\left(\|x\|\|y\|-\langle x,y\rangle\right)\geq2\langle x,y\rangle\left(\|x\|\|y\|-\langle x,y\rangle\right),$ $ por lo cual es suficiente para demostrar que $$\left(\|x\|+\|y\|+\|x+y\|\right)\|x+y\|\geq2\langle x,y\rangle.$ $ Ahora, por la desigualdad del triángulo $$\left(\|x\|+\|y\|+\|x+y\|\right)\|x+y\|\geq\left(2\|x+y\|\right)\|x+y\|=2\langle x+y,x+y\rangle.$ $ ¿Puedes terminarla ahora?

Answer 3

(No sugiero que lo hagan de esta manera, porque es solo un descerebrado de cálculo. Espero que alguien los posts más interesantes de la solución. No tengo idea de lo que está pasando aquí.)

Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, $$ \langle{x,y}\rangle \leqslant \|x\|\|s\|. $$

El cuadrado y multiplicando por $\|x\|^2 + \|y\|^2$, $$ \langle{x,y}\rangle^2\left(\|x\|^2 + \|s\|^2\right) \leqslant \|x\|^2\|s\|^2\left(\|x\|^2 + \|s\|^2\right). $$

Alternativamente, multiplicando por $2\langle{x,y}\rangle\|x\|\|y\|$ (sin ajustarlo en primer lugar), $$ 2\langle{x,y}\rangle^2\|x\|\|s\| \leqslant 2\langle{x,y}\rangle\|x\|^2\|s\|^2. $$

La adición de estas dos desigualdades, \begin{align*} \langle{x,y}\rangle^2\left(\|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\|x\|\|y\|\right) & \leqslant \|x\|^2\|y\|^2\left(\|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\langle{x,y}\rangle\right) \\ & = \|x\|^2\|y\|^2\|x + y\|^2, \end{align*} y ahora es sólo una cuestión de tomar la raíz cuadrada de ambos lados.

(He asumido a lo largo de ese $\langle{x,y}\rangle \geqslant 0$.)