Sean a,b y c las longitudes de los lados del triángulo ABC respectivamente...encuentra el mayor valor de b*c.

Question

Sean a,b y c las longitudes de los lados del triángulo ABC respectivamente. Si el perímetro de $\Delta$ ABC es 7, y que $\cos A=-\frac{1}{8}$ , encuentre el mayor valor de $b*c$ .

Así es como empiezo la solución:

$$a+b+c=7 \implies b+c=7-a,\quad \cos A=-\frac{1}{8}\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\\ \implies a^2=b^2+c^2+\frac{bc}{4} \\ \implies a^2=(7-a)^2-2bc+\frac{bc}{4} \\ \implies bc=4(7-2a)$$

Answer 1

Aplique a.m.-g.m.-inequality en $\sqrt{bc}$ .

$$\frac{(7-a)^2}{4}=\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 \ge bc = 4(7-2a)$$ $$49-14a+a^2 \ge 16(7 - 2a)$$ $$a^2+18a-63 = (a+21)(a-3)\ge 0$$ $$a \le -21 \text{(rejected) or } a \ge 3$$ $a\mapsto \dfrac{(7-a)^2}{4}$ es la parábola desplazada $7$ unidades a la derecha multiplicadas por $1/4$ , por lo que es estrictamente decreciente en $a\le 7$ . Por lo tanto, para maximizar $bc$ en la primera desigualdad, queremos establecer $\dfrac{(7-a)^2}{4}$ tan grande como sea posible, y que sea una igualdad, lo que equivale a $b=c$ . Esto da la solución $a = 3$ , $b = c = 2$ Así que $bc = 4$ .

Answer 2

$$ a^2=b^2+c^2+\frac{bc}{4}$$ así que $$ (7-b-c)^2 = b^2+c^2+bc/4$$ así que $$ 49-14b-14c+2bc = bc/4$$ así que $$ 7bc= 56(b+c)-196 \geq 112\sqrt{bc}-196$$ Poner $ x = \sqrt{bc} \;\;\;\;(\leq {b+c\over 2} < {7\over 2})$ entonces $$7x^2-112x+196\geq 0$$ así que $$x^2-16x+28\geq 0$$ así que $$x\in (0,2]\cup[14,\infty)$$ y por lo tanto $x_{\max} \leq 2$ (y esto se consigue si $b=c=2$ )