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Si$\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{C}$ es continuo y$\gamma(b)=-\gamma(a)$, ¿deben las curvas$\gamma$ y$e^{ic}\gamma$ intersectar para todos los$c$?

Si $[a, b]$ es un intervalo compacto de $\mathbb{R}$y $\gamma: [a, b] \to \mathbb{C}$ es continua, denotan el conectado, conjunto compacto $\gamma([a, b])$ por $[\gamma]$. Si $h$ es un complejo número de unidad de módulo, definir la curva $h\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}$por $(h\gamma)(t) = h(\gamma(t))$. (Si $h = -1$, escribir $h\gamma$ como $-\gamma$.)

Si $\gamma(b) = -\gamma(a)$, debemos tener $[\gamma] \cap [h\gamma] \ne \emptyset$?

Este trivialmente cierto para $h = \pm1$, y se ha demostrado (aunque no fácilmente) por $h = \pm i$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $h = e^{ic}$, donde $0 < c < \pi$.

La pregunta para el caso de $h = \pm i$ se preguntó por primera vez por Herman Tulleken, con la salvedad de que una respuesta se le permitió hacer casi arbitraria especial suposiciones acerca de $\gamma$, sujeto sólo a aplicabilidad a un problema concreto relacionado con polyominoes.

En consecuencia, @YiFan pidió a la preguntade nuevo, aún para el caso $h = \pm i$, pero esta vez sólo se especifica que $\gamma$es inyectiva (y, por supuesto, continua), pero que debería ser arbitrario. @Jens observado, en un comentario en esta pregunta, que la el resultado parecía ser cierto para una rotación general, no sólo $90^\circ$.

Me había hecho el mismo comentario que en la primera pregunta, no sabiendo que una segunda pregunta, le había preguntado - pero también he hecho muchos mal errónea de comentarios, en ambas preguntas!

A pesar de que mi juicio sobre este problema evidentemente es sospechoso, yo soy bastante seguro de la validez de Hagen von Eitzen, la respuesta a la segunda pregunta, e incluso de mi propia respuesta. Ambas respuestas (de forma independiente) el uso de la misma construcción, que es concatenar $\gamma$ con $-\gamma$, formando una curva cerrada; es entonces es necesario argumentar que si $z$ pertenece a $[\gamma] \cup [-\gamma]$ y $[i\gamma] \cup [-i\gamma]$, entonces uno de $\pm z, \pm iz$pertenece a $[\gamma] \cap [i\gamma]$. Mi primera vaga impresión de que ambos argumentos podrían manejar el caso de una rotación general parece, lamentablemente, a ser otro error.

Ninguna de estas respuestas a la segunda pregunta que utilizan la asunción de inyectividad, por lo que el caso de $h = \pm i$ (equivalentemente, w.l.o.g., $c = \frac{\pi}{2}$) parece ser resuelta.

La evidencia para el caso general es bastante débil. Yo no lo encuentro es intuitivamente obvio (aunque sigo engañado a mí mismo que yo vislumbrar las "razones" de por qué debía ser cierto). El mero hecho de que tiene por $h = \pm i$ no es convincente. Más allá de esto, sólo tengo la convicción adquirida de hacer experimentos sencillos con GeoGebra: la creación de $\gamma$ como un objeto de polilínea, mover los vértices, y la observación de las intersecciones con uno o más copias giradas.

Sin embargo, para lo que vale, estoy convencido de que el resultado general es cierto. También me siento, un poco menos fuerte, que probablemente ha una prueba simple de usar sólo la primaria los resultados acerca de la continuidad. Yo no creo que algo tan profundo como el de la Curva de Jordan es el Teorema de es necesario. Incluso mi prueba para el caso de $h = \pm i$ (que es corto, si permitir el uso de un lema que parece ser de uso más general) es probablemente la más compleja de lo que el "Libro" prueba de la general resultado.

Sin embargo, si no hay primarias de la prueba es próxima, voy a aceptar un respuesta usando métodos avanzados. No voy a ser competente para juzgar este tipo de una respuesta a mí mismo, pero me estará feliz de tomar el consejo (en una sala de chat, si no hay espacio en los comentarios).

6voto

Calum Gilhooley Puntos 1114

No, pero voy a obstinadamente continuar tratando de probarlo para $|c| \leqslant \frac{\pi}{2}$.

Fue a partir de trabajar en un prometedor aspecto idea para una prueba de que este vergonzoso contraejemplo surgido -

Counterexample with c = \frac{3\pi}{4}.


Después de Jens del golpe de gracia, todavía no he sido capaz de encontrar un contraejemplo para una rotación por $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{4}$o $\frac{\pi}{5}$.

En logarítmicas coordenadas polares (con $\theta$ , aumentando a el derecho, y $\log r$ aumentando, ya sea hacia arriba o hacia abajo, no importa cual), imitando Jens ejemplo para un ángulo entre $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{2}$, fue fácil construir un contraejemplo para $\frac{9\pi}{40}$, que se extiende entre $\frac{\pi}{5}$ e $\frac{\pi}{4}$:

Counterexample with c = \frac{5\pi}{40}.

Pero esto es lo que pasó cuando traté de hacer algo similar para $\frac{\pi}{5}$:

Failing to construct a counterexample with c = \frac{\pi}{5}.

Aquí está una manera similar fallido intento de construir un contraejemplo para $c = \frac{\pi}{3}$:

Failing to construct a counterexample with c = \frac{\pi}{3}.

¿Cualquier persona puede encontrar un contraejemplo a $c = \frac{\pi}{n}$, para cualquier entero positivo $n$?

Aquí es un contraejemplo de 35 grados, que es cerca de 36.)enter image description here

(Como esto es un Wiki de la Comunidad post, nadie debe sentirse libre de contribuir observaciones pertinentes.)

5voto

Jens Puntos 97

Inspirado por su contraejemplo, aquí hay un contraejemplo con el ángulo de rotación menor que $90^\circ$ :

introduzca la descripción de la imagen aquí

Parece que mi intuición estaba equivocada.

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