Si $[a, b]$ es un intervalo compacto de $\mathbb{R}$y $\gamma: [a, b] \to \mathbb{C}$ es continua, denotan el conectado, conjunto compacto $\gamma([a, b])$ por $[\gamma]$. Si $h$ es un complejo número de unidad de módulo, definir la curva $h\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}$por $(h\gamma)(t) = h(\gamma(t))$. (Si $h = -1$, escribir $h\gamma$ como $-\gamma$.)
Si $\gamma(b) = -\gamma(a)$, debemos tener $[\gamma] \cap [h\gamma] \ne \emptyset$?
Este trivialmente cierto para $h = \pm1$, y se ha demostrado (aunque no fácilmente) por $h = \pm i$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $h = e^{ic}$, donde $0 < c < \pi$.
La pregunta para el caso de $h = \pm i$ se preguntó por primera vez por Herman Tulleken, con la salvedad de que una respuesta se le permitió hacer casi arbitraria especial suposiciones acerca de $\gamma$, sujeto sólo a aplicabilidad a un problema concreto relacionado con polyominoes.
En consecuencia, @YiFan pidió a la preguntade nuevo, aún para el caso $h = \pm i$, pero esta vez sólo se especifica que $\gamma$es inyectiva (y, por supuesto, continua), pero que debería ser arbitrario. @Jens observado, en un comentario en esta pregunta, que la el resultado parecía ser cierto para una rotación general, no sólo $90^\circ$.
Me había hecho el mismo comentario que en la primera pregunta, no sabiendo que una segunda pregunta, le había preguntado - pero también he hecho muchos mal errónea de comentarios, en ambas preguntas!
A pesar de que mi juicio sobre este problema evidentemente es sospechoso, yo soy bastante seguro de la validez de Hagen von Eitzen, la respuesta a la segunda pregunta, e incluso de mi propia respuesta. Ambas respuestas (de forma independiente) el uso de la misma construcción, que es concatenar $\gamma$ con $-\gamma$, formando una curva cerrada; es entonces es necesario argumentar que si $z$ pertenece a $[\gamma] \cup [-\gamma]$ y $[i\gamma] \cup [-i\gamma]$, entonces uno de $\pm z, \pm iz$pertenece a $[\gamma] \cap [i\gamma]$. Mi primera vaga impresión de que ambos argumentos podrían manejar el caso de una rotación general parece, lamentablemente, a ser otro error.
Ninguna de estas respuestas a la segunda pregunta que utilizan la asunción de inyectividad, por lo que el caso de $h = \pm i$ (equivalentemente, w.l.o.g., $c = \frac{\pi}{2}$) parece ser resuelta.
La evidencia para el caso general es bastante débil. Yo no lo encuentro es intuitivamente obvio (aunque sigo engañado a mí mismo que yo vislumbrar las "razones" de por qué debía ser cierto). El mero hecho de que tiene por $h = \pm i$ no es convincente. Más allá de esto, sólo tengo la convicción adquirida de hacer experimentos sencillos con GeoGebra: la creación de $\gamma$ como un objeto de polilínea, mover los vértices, y la observación de las intersecciones con uno o más copias giradas.
Sin embargo, para lo que vale, estoy convencido de que el resultado general es cierto. También me siento, un poco menos fuerte, que probablemente ha una prueba simple de usar sólo la primaria los resultados acerca de la continuidad. Yo no creo que algo tan profundo como el de la Curva de Jordan es el Teorema de es necesario. Incluso mi prueba para el caso de $h = \pm i$ (que es corto, si permitir el uso de un lema que parece ser de uso más general) es probablemente la más compleja de lo que el "Libro" prueba de la general resultado.
Sin embargo, si no hay primarias de la prueba es próxima, voy a aceptar un respuesta usando métodos avanzados. No voy a ser competente para juzgar este tipo de una respuesta a mí mismo, pero me estará feliz de tomar el consejo (en una sala de chat, si no hay espacio en los comentarios).
