La duda en la medida de Lebesgue Entender.

Question

Estoy estudiando la teoría de la Medida forma Stein y Shakarachi:Análisis Real.

Vengo a través de la observación sobre el exterior de la medida.

Para cualquier $E\in R^d$ $m_*(E)=\inf m_*(O)$ donde $O $ es el conjunto abierto que contiene E.

yo.e $\forall \epsilon>0 \exists O\in R^d$ tal que $m_*(O)<m_*(E)+\epsilon$ e $E\subset O$.

También Por Lebesgue medibles de la definición de conjunto

E se dice es Lebesgue medible iff $\forall \epsilon>0,\exists O\in R^d$ tal que $m_*(O\setminus E)<\epsilon$ e $E\subset O$

A partir de esto, pensé que ambas definiciones son las mismas. después de cada juego en $R^d$ convertido en Lebesgue medibles que por supuesto no es cierto .dónde está mi interpretación de la falla?

Cuando es posible que $m_*(O \setminus E)\neq m_*(O)-m_*(E)$

Por favor me ayudan a resolver esta mala interpretación.

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Deje $E$ ser un conjunto de vitali. Una de las características de $E$ que es fácil de probar es que cada subconjunto compacto tiene medida cero (lo mismo es cierto de subconjuntos cerrados de $E$). También se $E$ positivos exterior de la medida. A continuación, vamos a $\epsilon>0$ y supongamos que podemos encontrar $O$ contiene $E$ tal que $m^\ast(O-E)<\epsilon$. Entonces existe abra $U$ tales que $$O-E\subset U$$ and $$m(U)< 2\epsilon.$$ Now $O$ is the disjoint union:$$O= (O\cap U) \cup(O-U) ,$$ and so $$m(O) = m(O\cap U)+m(O-U).$$ Pero $O-U$ es un subconjunto cerrado de $E$, por lo que tiene medida cero. Así $$m(O) = m(O\cap U)\leq m(U)\leq 2\epsilon.$$ But $\epsilon$ was arbitrary, and $E$ que supuestamente ha positivos exterior de la medida. Contradicción.