Intuición U-Sustitución

Question

He tenido un tiempo muy duro para envolver mi mente alrededor de u-sustitución.

Entiendo cómo la regla de la cadena se aplica con la siguiente intuición: Decir que tengo algún coche cuya posición de la función se define como: $x=3t$ dicen Ahora tenemos otro coche cuyos cambios de posición con respecto a los primeros coches de la posición con la siguiente ecuación: $y=(x)^2$. Entiendo que al tomar la derivada de la segunda coche con respecto al tiempo, nos tomamos la derivada de $y$ con respecto al $x$ y consigue $\frac{dy}{dx}= 2x$. Para tomar la derivada de $x$ con respecto al $t$ y consigue $\frac{dx}{dt}= 3$. Ahora para encontrar la derivada de $y$ con respecto al $t$ podríamos multiplicar ambas cantidades (sé que no es 100% formal, pero es intuitivo) para obtener $\frac{dy}{dt} = 2x*3 = 6x$. A continuación, vamos a reemplazar x con la posición definida por $3t$ (porque estamos hablando de $t$ aquí, y no necesitamos un $x$: $\frac{dy}{dt} = 18t$.

Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil extender este argumento a una integral. Yo sé cómo hacer u-sustitución, pero no puedo comprender intuitivamente. Especialmente esto: ¿por qué no puede dx=du si ambos están acercando a 0? Por favor alguien puede caminar a través de mí una explicación intuitiva?

Gracias

Answer 1

Dos formas de verlo:

En primer lugar, la integral indefinida: $\int F'(x)\,dx = F(x)+C$ es la antiderivada. En este punto de vista, la sustitución de la regla es simplemente la regla de la cadena escrita al revés: $\int F'(g(x))\cdot g'(x)\,dx = F(g(x))+C$.

Segundo, la integral definida como el área del problema; $\int_a^b f(x)\,dx$ es el área bajo la gráfica de $f$ entre $a$ e $b$. Aquí, una sustitución de transformar el intervalo integramos más, y tendremos que estirar la función verticalmente en el fin de mantener el área de la misma:

Nuestra transformación se extiende un pequeño segmento horizontal $dx$ a $du$, multiplicando por $\frac{du}{dx}$. En el fin de mantener la misma área, tenemos que multiplicar los valores de la función por el recíproco $\frac{dx}{du}$. El ejemplo que aquí se $(f(x)=\sqrt{1-x^2},u=\sin x)$ ha $\frac{du}{dx} > 1$, por lo que la transforma gráfico es más corto y más ancho en este caso.

Si queremos cortar todo el intervalo de esta manera, cada sector del área bajo la transformada gráfica tiene la misma área que el segmento correspondiente del área bajo la gráfica original. Suma a ellos, y a las áreas son las mismas.

Answer 2

Lo creas o no, u-fundamentación no es nada más que haciendo la regla de la cadena hacia atrás. En otras palabras, cuando usted está haciendo u-sustitución, usted va en la dirección opuesta. Echa un vistazo al siguiente ejemplo, donde estamos a punto de tomar la derivada de la función $u(x)$:

$$\int f(u)\frac{du}{dx}\,dx=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=f(u)\frac{du}{dx}\\$$

Espero que estén de acuerdo que lo que tenemos a la izquierda es equivalente a lo que tenemos a la derecha. Ahora, vamos a ir más atrás en la dirección opuesta. Hemos diferenciado $h(x)$ conseguir $f(u)$ e $\frac{du}{dx}$ está a punto de aparecer, pero vamos a congelar las cosas para un segundo aquí:

$$h'(x)=f(u)\implies\int f(u)\,du=h(x)$$

Por supuesto, $u$ es una función de $x$ no. Lo que tenemos en el lado izquierdo hay un nuevo integrante que debe ser integrado con respecto a la variable $u$. La idea aquí es que la nueva integral tenemos que esperamos sea más fácil de integrar que la que teníamos al principio. Así que, en resumen, cuando usted está haciendo u-sustitución, estamos transformando el problema original en un incompleto de la regla de la cadena problema.

---

Vamos a hacer un simple pero ejemplo concreto para ilustrar este proceso:

$$ \int(x+1)^2\,dx=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=(x+1)^2\\ \int(x+1)^2\cdot1\,dx=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=(x+1)^2\cdot1\\ \int(x+1)^2\frac{d}{dx}(x+1)\,dx=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=(x^2+1)^2\frac{d}{dx}(x+1) $$

Vamos a sustituir $x+1$ con $u$ para hacer las cosas más fáciles de leer:

$$\int u^2\frac{du}{dx}\,dx=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=u^2\frac{du}{dx}$$

Vamos a dar un paso más atrás. Hemos diferenciado $h(x)$ conseguir $u^2$ y es solo cuestión de tiempo para tomar la derivada de $u(x)$, pero se congelan las cosas en su lugar:

$$\int u^2\,du=h(x)\Longleftrightarrow h'(x)=u^2$$

Y ahora, la integral que tenemos es fácil diferenciar porque es uno de esos primaria de la tabla de integrales que todos sabemos cómo se hace:

$$ \int u^2\,du=\frac{u^3}{3}+C=\frac{(x+1)^3}{3}+C. $$