Subgrupo de un grupo finito$H$ y$G$

Question

Lamento admitir que esto ha sido confuso para mí mucho más de lo que me gustaría. Simplemente no puedo envolver mi cabeza alrededor de algunas partes de esta pregunta y me gustaría un poco de orientación.

Deje $G$ ser un grupo finito, y deje $S$ ser un subconjunto no vacío de a$G$. Supongamos $S$ es cerrado con respecto a la multiplicación. Demostrar que $S$ es un subgrupo de $G$. (SUGERENCIA: queda por demostrar que $S$ contiene $e$ e es cerrado con respecto a la recíproca. Deje $S$ = {$a_1$ ... $a_n$}. Si $a_i$ $∈$ $S$, considerar los distintos elementos del $a_ia_1$, $a_ia_2$, $...$ $a_ia_n$

Creo que si puedo entender a un pequeño segmento puedo completar mi prueba. Yo sé que tengo que mostrar $e$ $∈$ $S$ y que $S$ es cerrado w.r.t inversos, pero no puedo conseguir a través de un pequeño paso en la demostración de $e$ $∈$ $S$.

La prueba de que estoy tratando de averiguar algo como:

Desde $S$ es finito y cerrado bajo la operación, entonces tenemos $a_1$ = $a_1a_k$ para algunos $a_k$ $∈$ $S$. Luego de esto podemos encontrar que $a_k$ = $e$.

Mi pregunta es: ¿cómo podemos saber que tenemos a $a_1$ = $a_1a_k$ para algunos $a_k$ $∈$ $S$. No tengo idea de por qué esto sería el caso. También he visto otro post que utiliza un mapa de $S$ $\rightarrow$ $S$ definido por la izquierda de la multiplicación por $a_1$. El mapa es uno-a-uno y desde $S$ es finito, es inyectiva así. Yo lo entiendo, pero, a continuación, el cartel va a decir que esto de alguna manera muestra que tenemos $a_1s$ = $a_1$ para algunos $s$ $∈$ $S$. No tengo idea de por qué esto sería el caso. Si puedo averiguar eso creo que lo puedo hacer el resto de la prueba.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $a \in S$, e $S$ es cerrado bajo el producto, $a,a ^2, a^3, a^4, \ldots$ están todos en $S$. El grupo $G$ es finito y por lo tanto también lo es $S$, por lo que para algunos $n \neq m$ tenemos una repetición: $a^n = a^m$. Suponga $n > m$ WLOG. A continuación, en $G$ sostiene que, de hecho, $a^{n-m}=1$, el elemento neutro, y como es un poder de $a$, $1 \in S$. También se $a^{n-m-1}=a^{-1}$ está entonces claro, por lo $a^{-1} \in S$ . Como $a$ fue arbitraria, $S$ es un subgrupo.

Answer 2

Supongamos $A_1: S \to S$ es el mapa $x \mapsto a_1x$. Entonces, como usted ha dicho, el mapa es de uno a uno, y desde $S$ es finito, también debe estar en. Por lo tanto $a_1$ es en la imagen de $A_1$ y así hay algunos $s \in S$ , de modo que $A_1(s)=a_1$. Pero esto es exactamente la afirmación de que $a_1s=a_1$ para algunos $s$.

Answer 3

Para el neutral, ya que $G$ es finito, el orden de cada uno de sus elementos es finito si $a\in S$ , $a^n=e$ para un entero $n$ . Para el inverso, $aa^{n-1}=e$ así que $a^{n-1}$ es el inverso de $a$ .

Answer 4

Considere la posibilidad de los poderes positivos $s^k$ de un elemento

$s \in S; \tag 1$

desde $S$ es cerrado bajo la operación, hemos

$s^k \in S, \forall k \in \Bbb N \tag 2$

como bien; ahora ya

$\vert G \vert < \infty, \tag 3$

tenemos

$s^{\vert G \vert} = e, \tag 4$

que a la luz de (2) es suficiente para demostrar que

$e \in S; \tag 5$

ahora, en virtud de (4), existe al menos un número natural, que se denota por a$\vert s \vert \in \Bbb N$, de tal manera que

$s^{\vert s \vert} = e; \tag 6$

si ahora

$\vert s \vert = 1, \tag 7$

entonces

$s^{-1} = s = e \in S, \tag 8$

mientras que si

$\vert s \vert > 1, \tag 9$

entonces

$ss^{\vert s \vert - 1} = s^{\vert s \vert} = e, \tag{10}$

lo que muestra que

$s^{-1} = s^{\vert s \vert - 1} \in S; \tag{10}$

en cualquier caso tenemos

$s \in S \Longrightarrow s^{-1} \in S. \tag{11}$

Ahora hemos demostrado que el $S$, siendo cerrado bajo la operación de hipótesis, también contiene $e$ e $s^{-1}$ cualquier $s \in S$; por lo tanto $S$ satisface el grupo de axiomas y, por tanto, es un subgrupo de $G$.

Answer 5

Me gustaría sugerir un enfoque diferente, OP.

Tomar cualquier elemento $a \in S$. Asumir WLOG que $a \not = 1$. Entonces, queremos mostrar que tanto 1 y $a^{-1}$ es también en $S$ si $S$ es cerrado bajo la composición, y que es suficiente para mostrar que $S$ es un grupo. Sin embargo, para cada entero positivo $n$, el elemento $a^n$ es también en $S$. Pero, como $G$ es finito, por lo que es $S$, por lo que se deduce que existe una $j_1$ e una $j_2 > j_1+1$ tal que $a^{j_1} = a^{j_2} =a^{j_1} a^{j_2-j_1} \in S$ [por qué]. Pero la ecuación de $a^{j_2}=a^{j_1}$ implica la ecuación de $a^{j_2-j_1} = 1$ [żpor qué?] y $a^{j_2-j_1-1} = a^{-1}$. Pero $a^{j_2-j_1-1}$ e $a^{j_2-j_1-1}$ que también se encuentran en $S$ [por qué]. Por lo que el 1 es en $S$ y cada elemento $a \in S$ tiene su inversa también en $S$.