¿Hay alguna prueba estadística "esotérica" con muy baja potencia?

Question

De fondo

En ciencias de la computación, matemáticas, y a veces en otros campos, "esotérica" ejemplos no sólo puede ser entretenido, pero útil para ilustrar algunos conceptos, por ejemplo:

• Bogosort y Slowsort son muy ineficientes algoritmos de ordenación que se pueden utilizar para entender las propiedades de los algoritmos, en particular cuando se compara con otros algoritmos de ordenación.

• Esotérica de los lenguajes de programación demostrar cómo de largo alcance el concepto de un lenguaje de programación es y ayudar a apreciar bien los lenguajes de programación.

• El Weierstraß función y la función de Dirichlet principalmente se utilizan para ilustrar algunas ideas equivocadas sobre el concepto de continuidad.

Actualmente estoy preparando algunas enseñanzas sobre el uso de las pruebas de hipótesis y pensar que tener una prueba con muy bajo consumo de energía (pero no otros defectos) ayudará a ilustrar el concepto de poder estadístico. (Por supuesto, todavía tengo que decidir yo si un ejemplo es didácticamente útil para mi audiencia o simplemente confusa.)

Pregunta

¿Hay alguna prueba estadística con intencionalmente de baja potencia, más específicamente:

• La prueba se ajusta en el marco general de las pruebas de hipótesis, es decir, trabaja con una hipótesis nula, los requisitos, y se devuelve un (correcto) p valor.
• No es la intención de propuestas para serios de aplicación.
• Tiene un muy bajo consumo de energía (debido a un diseño intencional defecto y no debido a la baja de la muestra o tamaño del efecto).

Si puedes fundamentalmente argumentar que esa prueba no puede existir, también me gustaría considerar que esto es una respuesta válida a mi pregunta. Si, por otro lado, una gran cantidad de tales pruebas de que existe, estoy interesado en más de una forma didáctica eficiente, es decir, debe ser fácilmente accesible y tiene un efecto sorprendente.

Tenga en cuenta que estoy pidiendo una selección general de estadística de errores (cherry picking, etc.) o similar.

Lo que he encontrado hasta ahora

Las búsquedas en Internet devuelve nada para mí.

Cada intento de construir algo como esto terminó para arriba en algunos (muy útil) existentes de la prueba o el formato no es el de un examen regular. Por ejemplo, pensé acerca de una prueba de si una población tiene un resultado positivo de la mediana que devuelve sólo que sí si todas las muestras son positivas; pero esa prueba no devuelve un p valor y por lo tanto no encaja dentro de las habituales en el marco de prueba. Si me acaba de contar los signos positivos y negativos como un estadístico de prueba (y calcular los p valores de acuerdo), que terminan con la prueba del signo, que es una prueba razonable.

Answer 1

Hay un poco-comentó-en el corolario del lema de Neyman–Pearson (prueba en Geisser (2006), los Modos de Inferencia Estadística Paramétrica, Ch 4.4): $$ \operatorname{E}\phi(X)=\alpha $$ $$ \phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when %#%#%} \\ 1\ & \text{when %#%#%} \end{casos} $$ define el menos potente de nivel-$f_0(x) < kf_1(x)$ prueba, $f_0(x) > kf_1(x)$, la hipótesis nula de $\alpha$ densidad de $\phi$ vs $H_0:$ densidad de $f_0$ a partir de los datos $H_1:$.

A partir de este resultado se puede derivar de manera uniforme menos potente, localmente menos poderosos, de manera uniforme menos potente similar, y menos potente "totalmente sesgada" pruebas (me refiero a aquellos con menor poder bajo cualquier alternativa de bajo nulo). Si usted ya tiene un uniformemente más potente, &c. la prueba, basta con multiplicar el estadístico de prueba por -1 para mantener la partición del espacio muestral que induce al invertir el orden de las particiones.

Answer 2

(En relación con el comentario de @Scortchi)

Supongamos $X \sim N(\mu, 1)$ y queremos probar la hipótesis

\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}

Por el bien de esetoricism, vamos a aumentar nuestros datos con los de independiente "coin flip" $Z \sim Bernoulli(p)$ donde $p$ es conocido y no menor que el nivel de significación $\alpha$ (es decir, $p \in [\alpha, 1]$). Considere la posibilidad de rechazo de las regiones de la forma:

$$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$$

Por construcción, esta es una prueba válida para el tamaño de la $\alpha$.

\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}

El poder de esta prueba, sin embargo, nunca puede ser más de $p$. Por ejemplo, supongamos que nuestros datos observados es $(x, z) = (1000000, 0)$. Es obvio que la hipótesis nula debe ser rechazada, pero desde que nuestra moneda "muestra las colas" nosotros no rechaza la nula. Establecimiento $p=\alpha$ conduce a una aún más absurda ejemplo, donde el rechazo a la región no depende de $X$ a todos, pero todavía es válido el Rechazo de la región con el tamaño de la $\alpha$.

Una pregunta similar, puede ser dado como tarea cambiando la intersección de la unión en la región de rechazo. Esta región es uniforme y menos potente que el uno sin el $Z$, pero es más razonable en el sentido de que el poder no tiene un límite superior.