Si$‎\lim\limits_{x\to\infty}‎\frac{f(x)}{g(x)} = 1‎$, entonces$\lim\limits_{x\to\infty}(f(x) - g(x)) = 0‎$.

Question

Supongamos $‎f‎$ e $‎g‎$ son funciones reales tales que a$‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}‎\frac{f(x)}{g(x)} = 1‎$. Mi pregunta es:

¿Qué otras condiciones se requiere que $‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}(f(x) - g(x)) = 0‎$?

Generalmente, $‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}‎\frac{f(x)}{g(x)} = 1‎\nRightarrow‎‎‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}(f(x) - g(x)) = 0‎$. Por ejemplo, $‎f(x) = x^2 + x‎$ e $‎g(x) =‎ ‎x^2‎$.

Answer 1

Necesita $f(x) = g(x) + h(x)$ donde tanto $h(x) = o(1)$ como $h(x) = o[g(x)]$ .

... o dicho más precisamente por Mark Viola, estas son condiciones necesarias y suficientes.

Por ejemplo, si $f(x) = e^{-x}+ 1/x$ y $g(x)= e^{-x}$ , entonces se viola la segunda condición. En tu ejemplo, se viola la primera condición.

Answer 2

Las condiciones (A) $\lim_{x\to\infty}f(x)/g(x)=1$ y (B) $\lim_{x\to\infty}[f(x)-g(x)]=0$ están bastante relacionados. Por ejemplo, $f(x):=2/x$ e $g(x):=1/x$ satisfacer a B pero no en a, mientras que su ejemplo se muestra la independencia en la otra dirección. Cualquier "adicionales" condición que implica la B tendrá que ser, esencialmente, una declaración de B sí mismo (o algo más fuerte). Condición de no hacer una contribución útil.

Answer 3

Aviso que a partir de $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ consigue $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)-g(x)}{g(x)}=0.$$

Por ejemplo, si usted tiene más información que el límite de $\lim\limits_{x\to\infty} g(x)=L$ existe y es finito, entonces usted consigue $$\lim\limits_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\cdot g(x) = 0\cdot L = 0.$$

De hecho, incluso un poco más débil de la hipótesis de que $g(x)$ está delimitada es suficiente. Tomar cualquier $\varepsilon>0$. Ha $|g(x)|\le M$ para algún número real $M$ y cada una de las $x$y $$\left|\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right| \le \varepsilon$$ for every large enough $x$. Entonces usted consigue $$|f(x)-g(x)| = \left|\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right| \cdot |g(x)| \le \varepsilon M$$ para $x\ge x_0$ (donde $x_0$ depende de $\varepsilon$), es decir, $$\limsup_{x\to\infty} |f(x)-g(x)| \le \varepsilon M.$$ Como esto es cierto para todos los $\varepsilon < 0$, consigue $\limsup\limits_{x\to\infty} |f(x)-g(x)| = 0$y $$\lim\limits_{x\to\infty} (f(x)-g(x)) = 0.$$

Answer 4

$‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}(f(x) - g(x)) = 0‎$ es más fuerte que $‎‎‎\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}‎\frac{f(x)}{g(x)} = 1‎.$ Si $g(x) \neq 0$ para $x\geq x_0$ y $g(x) \neq o(1)$ tenemos

PS

La otra implicación no es cierta todo el tiempo; ver que $$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}(f(x) - g(x)) = 0 \implies \displaystyle{\lim_{x\to\infty}}‎\frac{f(x)}{g(x)} = 1.

y

PS

Answer 5

Para que esto sea cierto, necesitamos que $\lim_{x\to \infty}f(x)$ y $\lim_{x\to \infty}g(x)$ existan y sean finitos o las funciones pueden ser tales que $\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=\pm\infty$ pero luego necesitamos ese $f=g$ . $$\lim_{x\to\infty}(f(x) - g(x)) = 0‎ $$\lim_{x\to\infty}(f(x)) - \lim_{x\to\infty}(g(x)) = 0‎ $$\lim_{x\to\infty}(f(x)) = \lim_{x\to\infty}(g(x))‎