Ignorando el orden, ¿cuántos resultados distinguibles hay al tirar 6 dados idénticos? Respuesta $462$
Lo intenté de varias maneras $\frac{6^6}{6!}$ y no consigo encontrar la respuesta. Luchando cómo incorporar ningún orden y distinguible al mismo tiempo. Por favor, ayúdame.
Un resultado aquí es lo mismo que una séxtuple de enteros no negativos que suman $6$ El $i^{th}$ entrada diciéndote cuántas veces $i$ apareció como valor.
Estrellas y barras nos dicen que el número de tales es $$\binom {6+6-1}6=462$$
¿Qué parte es confusa? El enlace contiene una prueba detallada de la fórmula correspondiente.
¿Está clara la biyección? Como el orden de los dados no importa, lo único que distingue dos resultados diferentes es la seis-tupla. ¿Cuántos $1's$ ¿lo conseguiste? ¿Cuántos $2's$ etc. Así que sólo quieres contar esas seis-tuplas.
Sea $x_1,x_2,...,x_6$ indican el número de $1,2,3,4,5,6$ .
Entonces el problema puede formularse como $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6, 0\le x_i\le 6.$$
Por ejemplo, los siguientes resultados son equivalentes: $$111112\equiv 111121\equiv 111211\equiv 112111\equiv 121111 \Rightarrow \\ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(5,1,0,0,0,0);\\ 111123\equiv 111213\equiv 112113\equiv 121113\equiv \cdots\equiv 321111 \Rightarrow \\ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(4,1,1,0,0,0);\\$$
Utilizando el método de las estrellas y las barras: $${6+6-1\choose 6-1}=462.$$
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A priori, parece que habría que considerar todas las posibles particiones de 6.