Cubos y cubos unitarios

Question

Considere un $3\times 3\times 3$ cubo que consiste en un pequeño $1\times 1\times 1$ cubos unitarios. El cubo grande está pintado de negro por fuera. Supongamos que desmontamos el cubo y escogemos un cubo unitario al azar, miramos sólo una cara y vemos que es negra, sin mirar las otras caras. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo unitario que hemos elegido sea uno de los 8 cubos de las esquinas?

Este me parece sencillo pero no estoy seguro de estar en lo cierto: El cubo grande está formado por 27 cubos unitarios de los cuales sólo uno, el del medio, no tiene ninguna cara pintada. Todos los demás (26) tienen al menos una cara pintada y 8 tienen 3 caras pintadas. Por lo tanto, la probabilidad solicitada es $\frac{8}{26}$ -¿Esto es así?

Answer 1

Tu primer paso es razonable: si ves una cara pintada, entonces sabes que el cubo que tienes no puede ser el cubo central. Sin embargo, no es "tan probable" que tengas un cubo de esquina como uno de lado. Tienes que ser más cuidadoso al pensar en tu espacio muestral.

Esta es una posible línea de razonamiento: cuando se pinta el $3\times 3\times 3$ cubo, se pinta un total de $$9 \cdot 6 = 54$$ caras (cada cara del cubo grande está formada por un $3\times 3$ disposición de las caras de los cubos más pequeños; el cubo grande tiene seis caras). Esto representa el espacio total de resultados posibles (dado que se sabe que se ha seleccionado una cara pintada- a priori (podría haber sido posible seleccionar una cara no pintada, pero sabemos que esto no ocurrió).

Por otro lado, hay 8 cubos de esquina, cada uno de los cuales como tres caras pintadas, para un total de $$3 \cdot 8 = 24$$ caras pintadas en los cubos de las esquinas. Elegir una cara pintada de una esquina es un "éxito" en este experimento. Por lo tanto, la probabilidad de que haya seleccionado un cubo de esquina es la relación entre los éxitos y el número total de resultados posibles, es decir $$P(\text{the painted face is from a corner}) = \frac{\text{number of successful outcomes}}{\text{total number of outcomes}} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}.$$

Answer 2

No, porque has elegido una cara del cubo al azar para mirarla y has visto que es negra. Eso hace que sea más probable que tengas un cubo de esquina que uno de los otros con algunas caras pintadas. Quizás un enunciado más cuidadoso del problema es que elegimos un cubo al azar y una cara al azar de ese cubo. Dado que la cara que elegimos es negra, ¿cuál es la probabilidad de que el cubo sea un cubo de esquina?

La solución simple es que hemos seleccionado una cara negra al azar. Hay $54$ caras negras, $24$ de los cuales están en cubos de esquina, por lo que la probabilidad de que tengamos un cubo de esquina es $\frac {24}{54}$

Answer 3

También puedes utilizar el teorema de Bayes. La probabilidad a priori de elegir un cubo de esquina es $8 \over 27$ . La probabilidad de que un cubo de esquina muestre una cara negra es $1 \over 2$ . La probabilidad global de una cara negra es ${54 \over 162}=1/3$ Así que

$P({\rm corner }|{\rm black})={1/2 \over1/3} \times 8/27 =4/9$