¿Debe una ecuación contener al menos una variable? ¿Podemos llamar a 1 +1 = 2 una ecuación?

Question

De acuerdo a la Wikipedia y la Enciclopedia Universalis, una ecuación debe contener al menos una variable, pero no hay tal condición mencionada en otras definiciones.

Así se puede llamar a los siguientes igualdades ecuaciones? Columbia Encyclopedia dice que sí, pero esto se contradice con la Wikipedia y la Enciclopedia Universalis definiciones.

$$1+1=2$$

$$9+4=13$$

En matemáticas, una ecuación es un enunciado de una igualdad que contiene una o más variables. -Wikipedia

El original de 2 citas mencionadas en el artículo de Wikipedia se mencionan más adelante en esta pregunta

Ecuación, la Declaración de igualdad entre dos expresiones que consta de variables y/o números. -La Enciclopedia Británica

Una ecuación es una expresión matemática que indica que dos o más cantidades son el mismo como un otro -Wolfram Mathworld

un enunciado matemático en el que muestran que dos cantidades son iguales usando símbolos matemáticos -Cambridge Diccionario

Una declaración de que los valores de dos expresiones matemáticas son iguales (indicado por el signo =) -Diccionario de Oxford

La ecuación, en matemáticas, una declaración, por lo general por escrito en símbolos, que los estados de la igualdad de dos cantidades o expresiones algebraicas, por ejemplo, x+3=5. (...) Un numérica de la ecuación es una que contiene sólo números, por ejemplo, 2+3=5 -Columbia Encyclopedia, 6ª ed

La definición de Wikipedia de la cites 2 fuentes diferentes. Voy a citar aquí:

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, por lo tanto, una fórmula de la forma a=B, donde los dos miembros a y B de la ecuación son expresiones en las que una o más variables, representadas por letras, aparecen -Encyclopædia Universalis, de idioma francés enciclopedia general publicado por Encyclopædia Britannica, Inc. (Traducido por Google Translate, el énfasis es mío.)

"Una declaración de igualdad entre dos expresiones. Las ecuaciones son de dos tipos, identidades y ecuaciones condicionales (o simplemente "ecuaciones")". "Ecuación ", en Diccionario de Matemáticas, Glenn Santiago [de] et Robert C. Santiago [de] (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1ª ed. 1948, pág. 131.

Así que, todavía estoy confundido. La primera definición de los dos anteriores definiciones, se dice que no debe ser una variable, y la 2 no tiene tal condición.

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La razón, estoy pidiendo a la pregunta porque, en la India, algunos de los populares libros de texto han mencionado que una ecuación contiene una variable. Aquí está la definición que se utiliza en la NCERT clase 7 matemáticas libro (Página 79).

Aquí hay otro Gobierno publicó el libro, WBBSE clase 7 libros de texto de matemáticas (idioma: Bengalí), donde se instruyó a los estudiantes para averiguar cuáles de las siguientes son ecuaciones y los que no lo son. En las soluciones, no la tuvo en cuenta (f) y (g) como las ecuaciones.

La gente que tiene la idea de que una ecuación debe contener un desconocido, se puede encontrar a menudo, sin embargo. Por ejemplo, vamos a considerar esta similar pregunta sin respuesta en este foro. Sólo hay 2 comentarios y que se contradicen unas a otras. También, esta pregunta tiene varias respuestas, donde los usuarios creen que una ecuación debe tener una incógnita.

Una ecuación es para ser resuelto, es decir, son algunas de las incógnitas

Resolver una ecuación, mientras evaluar una fórmula.

Answer 1

La definición en la Wikipedia es inusual y no coincide con el habitual uso de la palabra "ecuación" por los matemáticos. Los matemáticos usan regularmente el término "ecuación" para referirse a cualquier declaración de que dos cosas son iguales escrito con el símbolo $=$, independientemente de que ninguna de las variables involucradas. Generalmente es usado como un término informal, pero puede ser dado precisas definiciones formales en diversos entornos. No sé de una definición formal que requiere que haya al menos una variable.

Answer 2

He recogido los diferentes definiciones de diferentes referencias y trató de averiguar si 1+1=2 satisface todas las condiciones para ser llamada una ecuación de acuerdo a esa definición. (Las definiciones y las direcciones Url que se mencionan en la pregunta)

Todas las anteriores referencias, excepto Encyclopædia Universalis puede ser utilizado para llamar a 1+1=2 una ecuación. Encyclopædia Universalis artículo mencionado acerca de la presencia de "una o más variables" en la igualdad de una ecuación. Pero como yo seguía leyendo el artículo en la Enciclopedia Universalis, me encontré con otro enunciado que puede ser utilizado para contradecir a su definición de la ecuación.

Una ecuación que es cierto independientemente de los valores de las variables es una identidad.

También de Matemáticas Diccionario, James y James, 5ª edición, Página 147:

Las ecuaciones son de dos tipos, identidades y ecuaciones condicionales (o simplemente "ecuaciones")".

Creo que a partir de las anteriores 2 referencias, es seguro decir que las identidades son un subconjunto de las ecuaciones. Podemos llamar a las identidades de la ecuación, pero no condicional de la ecuación (que la mayoría de la gente simplemente se refieren como 'ecuación' y debería tener al menos una variable). Todos conocemos la famosa Identidad de Euler ($e^{i\pi}=-1$) y no tiene ninguna variable. Wolfram Mathworld y Wikipedia el artículo mencionado de Euler Identidad como Ecuación de Euler.

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler)... --Wikipedia

$e^{i\pi}+1=0$ una ecuación de conectar el fundamental de los números i, pi, e, 1, y 0 (cero), las operaciones fundamentales +, ×, y exponenciación, el más importante de la relación =, y nada más. --Wolfram Mathworld

También he encontrado otro artículo, Ecuaciones Y El Signo Igual En la escuela Primaria Matemáticas Libros de texto, escrito por Sarah R. Powell y fue publicado en La escuela Primaria diario Jun 2012; 112(4): 627-648. El manuscrito está disponible en PubMed Central. Se ha utilizado la siguiente ecuación de la terminología.

Una ecuación matemática, una ecuación con cero o más variables (p. ej., 9 = 6 + 3; 9 = x + 3), mientras que una ecuación algebraica es una ecuación con dos o más variables (por ejemplo, x − 3 = y).

Algunos pueden argumentar que podemos llamar 1+1=2, una igualdad, pero no de una ecuación, citaré la definición de la Identidad de las Matemáticas Diccionario.

Igualdad: La relación de igualdad de condiciones; la declaración, por lo general en la forma de una ecuación, que dos cosas son iguales.

Por lo tanto, la igualdad es la relación y a menudo expresamos/escribir como una ecuación. En mi opinión, si se debe llamar a una Igualdad o una Ecuación, es acerca del idioma inglés, pero no acerca de las Matemáticas.

_{Yo también me han gustado el Vacío de la verdad de la idea de Eric Wofsey, publicado en uno de los comentarios. 1+1=2 también puede ser considerado como una ecuación en la variable x, en la que x sucede que en realidad no aparecen.}

Answer 3

Buena pregunta. Una ecuación es básicamente cualquier expresión matemática que involucre el signo de igualdad.

Entonces $$ X + 2 = 5 $$ es una ecuación. Es verdad.

¿Pero no es $1 + 5 = 6$ también una ecuación?

Answer 4

He encontrado esto en la Igualdad de Wikipedia página:

No hay ningún estándar de notación que distingue a una ecuación de un de identidad o cualquier otro uso de la igualdad de relación: un lector tiene que adivinar una adecuada interpretación de la semántica de las expresiones y el contexto. Una identidad es afirmado ser verdadera para todos los valores de las variables en un determinado dominio. Una "ecuación" a veces puede significar un identidad, pero más a menudo se especifica un subconjunto de la variable espacio para ser el subconjunto donde la ecuación es verdadera.

$1+1=2\;$ es una igualdad. Esto es una relación afirmar que $\;1+1\;$ es el mismo objeto que $\;2$. Esto siempre es cierto. $\;x=x\;$ es una identidad, porque la afirmación es verdadera para todos los $x\in\mathbb{R}$. No hay confusión o pregunta sobre el valor de $x$, porque podría ser cualquier valor en $\mathbb{R}.$

Hay una diferencia importante entre la "ecuación" e "igualdad".

$x^3=x+1\;$ es una ecuación, ya que contiene varibles (o incógnitas). No es cierto para todos los $x\in\mathbb{R}$, por lo que no es una pregunta sobre el valor de $x$. Aquí tenemos el concepto de "solución" a una ecuación. No tiene sentido decir que la igualdad de $\;1+1=2\;$ tiene una "solución", porque es una, inmutable para siempre la verdadera instrucción, para empezar. Sin embargo, no es una solución a $\;x^3=x+1.\;$

Usted podría considerar la posibilidad de una declaración de una ecuación si el concepto de "solución" que se aplica.

EDIT: pregúntese por qué se llaman a $e^{i\pi}=-1$ de Euler de identidad y no de Euler de la ecuación.