¿Debe un conjunto de Borel B de medida distinta de cero contener un intervalo como un subconjunto?

Question

Supongamos que estamos trabajando en los reales bajo el estándar de la medida de Lebesgue.

Debe un conjunto de Borel B distinto de cero de la medida contener un intervalo como un subconjunto?

Suponemos que sí. Es la siguiente línea de razonamiento válido? Los conjuntos de Borel son generados por los contables de las intersecciones, contables sindicatos, y de los complementos de abrir sets, pero todos los conjuntos de distinto de cero de la medida debe ser una unión de una cantidad no numerable de puntos. La unión puede contener un intervalo o estar compuesto en su totalidad de puntos discretos (cada uno con un barrio que no contiene ningún otro punto de la unión). Dado que los conjuntos de Borel sólo permiten el mencionado contables de las operaciones y B distinto de cero de la medida, el cero no puede ser debido a un sinnúmero de unión de puntos discretos, por lo que la medida debe ser distinto de cero debido a un intervalo contenido en B.

Answer 1

El conjunto$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ o todos los números irracionales es un G$_\delta$ - conjunto de medidas de Lebesgue completo / infinito (o es un conjunto co-nulo si lo prefiere) que no incluye intervalos.

Answer 2

Este conjunto gordo de Cantor es un contraejemplo: cerrado, vacío interior, pero con una medida positiva de Lebesgue.