supremo e infimum de un conjunto de números

Question

Sea$n \geq 3$ un entero fijo arbitrariamente. Tome todas las posibles secuencias finitas$(a_1,...,a_n)$ de números positivos. Encuentra el supremo y el mínimo del conjunto de números$$\sum_{k=1}^n{\frac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}}$$ where $ a_ {n +1} = a_1$ and $ a_ {n +2} = a_2 $.

Intento formular una desigualdad para la suma, que es$?\leq \sum_{k=1}^n{\frac{a_k}{a_k+a_{k+1}+a_{k+2}}} \leq ?$. Pero no tengo ni idea. ¿Alguien puede dar algunos consejos?

Answer 1

(Escriba $S(a)=\sum \dots$ para cualquier cantidad)

Conecte $q,q^2,\dots,q^n$ $q > 0$ y obtener $$ S(a) = (n-2)\frac{1}{1+q+q^2}+\frac{q^{n-1}}{q^{n-1}+p^n+q^1}+\frac{q^{n}}{q^{n}+q^1+q^2} $$ deje $q \rightarrow 0,\infty$ rendimiento inf $\leq 1$ $\sup\geq n-2$

No deje $a_1,\dots,a_n$ ser cualquier secuencia, vamos a $A:=\sum a_i$

1) hacer el denominador más grande: $$ S(a) \geqslant \frac{a_1}{A}+\dots+\frac{a_n}{A} = \frac{A}{A} = 1 $$

2) observe que para cualquier $x>0$ y el cociente $\frac{a}{b}$ donde $0 < a < b$ $$ \frac{a}{b} \leqslant \frac{a+x}{b+x} $$ debido a $a(b+x)\leqslant b(a+x)$ es equivalente a $ax\leqslant bx$

3) aplicar 2) recoger $x$ tal que la suma en el numerador se convierte en $A$. $$ S(a)=\sum \frac{a_i}{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}} \leq \sum \frac{a_i+\left[A-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\right]}{a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+\left[A-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\right]}$$ y esto es $$ =\sum \frac{A-(a_{i+1}+a_ {+2})}{A} = \frac{nA-a_2-a_3-a_3-a_4-a_4-a_5-\dots-a_{n-1}-a_n-a_n-a_1-a_1-a_2}{A} $$ Aquí todos los $a_i$ aparece exactamente dos veces y, por tanto, $S(a) \leqslant n-2$