¿Qué tipo de grupo no identitario $G$ satisface $G=G'=[G,G]$ ? ¿Qué relación tiene con un grupo soluble o nilpotente? Gracias de antemano.
Excelente resumen, Matt. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Samuel
Puntos
22587
Un grupo de este tipo se denomina grupo perfecto. Nótese que cualquier grupo simple no abeliano cumple esto porque el subgrupo conmutador es normal. Un grupo perfecto no trivial no puede ser resoluble ya que la serie $G,G',[G',G']\ldots$ nunca termina (y en particular no termina en un grupo trivial). Para una especie de inversa para grupos finitos, tenga en cuenta que si un grupo finito no es solucionable entonces eventualmente la serie es constante, y ese término constante es un grupo perfecto.
Como señala Jim Belk, no todos los grupos perfectos son simples, y el grupo perfecto no simple más pequeño es $\mathrm{SL}(2,5)$ que es de orden $120$ .
0 votos
es.wikipedia.org/wiki/Grupo_perfecto
0 votos
Por ejemplo $A_n$ para $n>4$ o ${\rm SL}(n,q)$ para $(n,q)\neq (2,2),(2,3)$ . En ambos casos, el argumento es que determinados generadores ( $3$ -ciclos en el caso de grupos alternos y matrices elementales en el caso de grupos lineales especiales) son conmutadores en casi todos los casos.
0 votos
En cualquier caso, su pregunta es bastante vaga y potencialmente demasiado amplia. Intente corregirlo.
0 votos
Yeh...Grupos perfectos y no tienen solución. Gracias lulu y gracias por los ejemplos Pedro.