Encuentra todos los polinomios$A \in \mathbb{R}[X]$ que estabilizan el conjunto de números primos

Question

Vamos a ser $\mathcal{P}$ el conjunto de los números primos.

Me gustaría para determinar el conjunto de polinomios $A \in \mathbb{R}[X]$ tal que $A(\mathcal{P}) = \mathcal{P}$.

Lo que he probado hasta ahora:

• He demostrado que, si $\forall p \in \mathcal{P}, A(p) = p$, entonces: $A = X$.
• Entonces, si $A \in \mathbb{Z}[X]$, $A(p) \equiv A(0) \pmod{p}$ así que, si $A(0) \equiv 0 \pmod{p}$, entonces, la instrucción anterior: $A = X$. De lo contrario, no veo cómo proceder cuando $p \nmid A(0)$
• Si $A \in \mathbb{Q}[X]$, creo que podría volver a $\mathbb{Z}[X]$ multiplicando por el MCPP de todos los denominadores y reutilizar mis resultados anteriores.
• Si $A \in \mathbb{R}[X]$, no tengo idea de cómo proceder, porque todos los números primos no única factorización utilizando irrationals y recíproca.
• Si $A$ es inyectiva, entonces debe ser creciente y debemos tener $A(2) > A(1) > A(0)$$A(2) \geq 2$, al mismo tiempo, $A$ debe ser surjective de los números primos, por lo que no debe ser $x \in \mathcal{P}$ tal que $A(x) = 2$ si $A(2) > 2$,$x < 2$, eso es imposible. Entonces: $x = 2$$A(2) = 2$, supongo que podríamos recorrer esta idea para conseguir ese $A = X$ una vez más. Ahora, yo sé que si $A \neq X$, $A$ no es inyectiva.
• He tratado de buscar en las raíces de dicho polinomio, pero no estoy seguro de cómo utilizarlo en $\mathbb{R}[X]$.

Answer 1

Supongamos $Q(x)$ es un polinomio de envío de los números primos de los números primos. Deje $d$ denotar el grado de $Q(x)$. Escribir $p_k$ $k$ésimo número primo. Sabemos $Q(p_j) \in \mathbb{Z}$$1\le j \le d+1$, de modo que, por ejemplo, mediante la interpolación de Lagrange, se deduce que el $Q(x) \in \mathbb{Q}[x]$. Deje $Q(x) = \tilde{Q}(x) / c$ $\tilde{Q}(x) \in \mathbb{Z}[x]$ $c\in \mathbb{Z}$ (donde $c$ es relativamente primos a al menos uno de los coeficientes de $\tilde{Q}$).

Supongamos $p$ es cualquier primer suficientemente grande tal que $Q(p)$ no divide $c$. Si $Q(p)\neq p$, luego por la del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, podemos encontrar una infinidad de números primos $q$ tal que $q\equiv p \pmod{Q(p)}$. Para cada una de las $q$, tenemos $$Q(q) \equiv Q(p) \equiv 0 \pmod{Q(p)} \implies Q(q) = Q(p)$$ so the value $Q(p)$ is attained infinitely often by $P$, contradiction. Hence $Q(p) = p$ for all large enough primes $p$. We conclude $Q(x) = x$.