Puede $f, g \in L^{1}(\mathbb{R})$ implica $ \lim_{x \to \infty} (f * g)(x) = 0 $

Question

Puede $f, g \in L^{1}(\mathbb{R})$ implica $$ \lim_{x \to \infty} (f * g)(x) = 0 $$ ¿o no?

$*$ denota aquí convolución: $$ (f*g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)g(x-t)\ dt $$

Leí que cuando $f \in L^{p}$ y $g \in L^q$ podemos demostrar $f * g(x)$ desaparece en el infinito, utilizando la desigualdad de Holder para estimar $\int_{B(0,R)^C}| f(t)g(x-t) | dt$ . Pero en el caso de $L^1(\mathbb{R})$ Tengo dificultades en la estimación. Supongo que es cierto, pero no tan seguro. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Por el teorema de Wiener el mapa $T_f: L^1(\mathbb{R}) \to L^1(\mathbb{R})$ dado por $g \mapsto f \ast g$ es invertible cuando su transformada de Fourier $\widehat{f}$ está limitado por debajo. Eso te dará muchos contraejemplos. De hecho, casi todas las funciones $h$ en $L^1$ es una convolución tomando $$h = f \ast \Big( \frac{1}{\widehat{f}} \, \widehat{h} \Big)^{\vee} = f \ast g$$

Answer 2

La convolución de dos $L^{1} (\mathbb R)$ no tienen por qué ser continuas. Es in $L^{1} (\mathbb R)$ es una clase de equivalencia de funciones. Así que la pregunta no tiene sentido.