¿Cómo se puede usar la función de logaritmo para definir ángulos?

Question

En el trato con el complejo de la función logaritmo, he leído que la parte imaginaria de $\log w$, es también llamado el argumento de $w$, $\operatorname{arg }w$, y se interpreta geométricamente como el ángulo entre el eje real positivo y la mitad de la línea desde el origen a través del punto de $w$.

El uso de la interpretación, hay una manera estándar para definir los ángulos en los triángulos en el plano? Traté de dibujar un crudo de la imagen poco.

Así que algo como $\Im(\log b)-\Im(\log a)$ daría el ángulo entre las dos líneas punteadas que emana a $b$$a$, pero ¿cómo se podía definir el ángulo entre las piernas $ab$$ac$? Me gustaría evitar ángulos superiores a $\pi$, así que tengo la esperanza que hay una definición que devuelve los ángulos en $[0,\pi]$. Gracias.

Answer 1

Intente$\text{Im} \log \left(\frac{c-a}{b-a}\right)$, usando la rama principal del logaritmo (la que tiene la parte imaginaria en$(-\pi, \pi]$). El resultado es positivo si la pierna$ac$ es en sentido antihorario desde la pierna$ab$ y negativa si es en el sentido de las agujas del reloj. Si no te importa si es hacia la derecha o hacia la izquierda, toma$\left|\text{Im} \log \left(\frac{c-a}{b-a}\right)\right|$.