Sumas de tipo Gauss para raíces cúbicas

Question

Las sumas (cuadráticas) de Gauss expresan la raíz cuadrada de cualquier número entero como una suma de raíces de la unidad (o de cosenos de múltiplos racionales de $2\pi$ si se quiere) con coeficientes racionales.

Pero Kronecker-Weber garantiza que cualquier raíz de cualquier número entero puede expresarse como una suma de ese tipo. ¿Cuál es la ¿Existe la fórmula correspondiente para, por ejemplo, $\sqrt[3]p$ ?

Actualización. Lo siento, pero la pregunta original no tiene mucho sentido. La pregunta que, tal vez, quería hacer es (como Matt E amablemente señala) discutido en David Speyer's respuesta .

En particular, para $p=3k+1$ la suma cúbica $\displaystyle\sum_{t\in\mathbb Z/p}\cos\left(\frac{2\pi t^3}p\right)$ es una raíz de la ecuación $x^3-3px-Ap=0$ donde $4p=A^2+27B^2$ y $A\equiv 1\pmod 3$ (el discriminante de la ecuación cúbica es $(27pB)^2$ ).

Answer 1

El teorema de Kronecker--Weber no garantiza lo que usted afirma. En efecto, $\mathbb Q(p^{1/3})$ no es Galois sobre $\mathbb Q$ y su cierre de Galois es igual a $\mathbb Q(\sqrt{-3},p^{1/3})$ que es un $S_3$ (y por lo tanto no abeliana) extensión de $\mathbb Q$ . Es es una extensión abeliana de $\mathbb Q(\sqrt{-3})$ pero no todas las extensiones de este campo son ciclotómicas, sino que se describen mediante la teoría de la multiplicación compleja (Kronecker Jugendtraum ).