¿Cuál es el mayor valor entero de $n$ para lo cual $8^n$ divide uniformemente $(100!)$ ?

Question

Sé que puede ser una pregunta innecesaria, pero estoy un poco confuso. El problema pide el mayor número entero $n$ tal que $8$ al poder de $n$ es divisible, uniformemente por supuesto, por $100$ . Ahora, he buscado en el sitio, y, en general, parece que se puede utilizar la función de piso para un problema como este, pero esto parece que sólo funciona para los números primos, posiblemente. Mi proceso, que me di cuenta de que era incorrecta:

La función de suelo de $100/8 = 12$ y haciéndolo para la segunda potencia obtendría uno, y, sumándolos, trece. Por supuesto, después de ver la respuesta, $32$ Volví a ver qué pasaba e hice el problema más despacio. Obtuve $12$ números a partir de los números de $100!$ y luego consiguió otro $8$ de $2 \times 4$ pero, que se puede aplicar para todos los múltiplos de $2$ y $4$ que no son de $8$ . Así que, esencialmente, me pregunto si hay un método más rápido para calcular este número sin contar específicamente los números. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que lo más fácil es hacerlo con poderes de $2:$

$$\left\lfloor{100\over2}\right\rfloor+ \left\lfloor{100\over4}\right\rfloor+ \left\lfloor{100\over8}\right\rfloor+ \left\lfloor{100\over16}\right\rfloor+ \left\lfloor{100\over32}\right\rfloor+ \left\lfloor{100\over64}\right\rfloor=97=32\cdot3+1 $$

por lo que el mayor exponente de $8$ es $32$ .

Answer 2

Creo que la forma más fácil de responder a esta pregunta es factorizar $100!$ . En realidad, bastará con una factorización parcial. Así, vemos que $$100! = 2^{97} \times 3^{48} \times 5^{24} \times \ldots \times 83 \times 89 \times 97.$$

Desde $8 = 2^3$ tenemos que dividir $97$ por $3$ y desechar el resto. Es decir, reescribir $2^{96}$ como $8^n$ y ahí tienes la respuesta.

Answer 3

Resumiendo $2$ -órdenes radicales de los números pares de $2$ a $100$

Usted consigue que $$(100)! = 2^{97}\cdot A=8^{32}\cdot 2A$$ donde $A$ es el producto de todos los factores (impar) restantes de $100!$

Answer 4

Así que usted está buscando aproximadamente un tercio de $$n = \sum_{i = 1}^\infty \left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor,$$ donde $m = 100$ y $p$ es 2 ( $m$ puede ser cualquier número entero positivo y $p$ puede ser cualquier primo impar).

Por supuesto, ni siquiera tienes que intentar llegar al infinito. En cuanto te des cuenta $$\frac{m}{p^i} < 1,$$ puede detener la iteración.

Lo importante aquí es entender que cada número consecutivo por el que se multiplica para obtener un factorial "suma" los exponentes de sus factores primos a los exponentes de los factores primos del factorial.

Por ejemplo, $11! = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13^0 \times 17^0 \times 19^0 \times \ldots$ Desde $12 = 2^2 \times 3^{(1)}$ podemos simplemente sumar 2 al exponente de 2 y 1 al exponente de 3, para obtener $12! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13^0 \times$ $17^0 \times 19^0 \times \ldots$ Y entonces la factorización de ¡13! es una simple cuestión de sumar 1 al exponente de 13.

Así que, en el caso concreto que nos ocupa, la primera pregunta es: ¿cuántos números menores o iguales que 100 son pares? La mitad, es decir, 50. Pero esto no tiene en cuenta cuántos de ellos son "doblemente pares", ya que contribuyen con al menos 2 cada uno al exponente de 2 en la factorización de 100. Así que hay 25 de ellos, lo que eleva nuestro recuento a 100. Así que son 25, lo que nos lleva a 75.

Y luego doce de ellas son divisibles por 8 (la cuenta ahora es 87), seis son divisibles por 16 (la cuenta 93), tres son divisibles por 32 (la cuenta 96), sólo una es divisible por 64 (la cuenta 97), y ninguna es divisible por 128, 256, 512, 1024, etc. (la cuenta se queda en 97).

Todo lo que queda por hacer ahora es resolver $2^{97} = 8^x$ y redondear a la baja $x$ si es necesario.

Answer 5

Bien $8^n = 2^{3n}$ por lo que hará para encontrar el mayor poder de $2$ que dividen $100!$ .

Lo que significa considerar la factorización en primos de $100!= 2^k*3^j*5^m.....$ . ¿Qué es el $k$ en el $2^k$ ?

Bien $100! = 1 * 2 * 3* 4* ....... *97*98*99*100$ pero sólo los números pares contribuyen a potencias de $2$ .

Así que $100! = 2*4*6*......*98*100*($ un montón de términos impar $)=$

$= (2*1)*(2*2)*(2*3)*..... *(2*49)*(2*50)*($ las condiciones impar $)=$

$= 2^{50}*(1*2*3*4*.....*50)*($ las condiciones impar $)$ .

Ahora los términos pares de $1,2,3,4,...., 50$ van a contribuir a los poderes de $2$ así que

$100! = 2^{50}*(2*4*6*...*48*50)*($ las condiciones impar hasta cincuenta $)*($ un montón de términos Impares $)=$

$2^{50}*(2*1)*(2*2)*(2*3)*.....*(2*24)*(2*25)*($ una cantidad ingente de términos Impares que no necesitamos conocer. $)=$

$2^{50}*2^{25}*(1*2*3.....*25)*($ un montón de términos impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*(2*4*....*24)*($ algo impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*(1*2*3*....*12)*($ Monstruo impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*(2*4*6*8*10*12)*($ Lo impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*2^6*(1*2*3*4*5*6)*$ impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*2^6*(2*4*6)*$ MEGA-impar $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*2^6*2^3*(1*2*3)*$ ODDasaurus $)=$

$2^{50}*2^{25}*2^{12}*2^6*2^3*2^1*$ MEGA-MECHA-impar-atron-a-galactadingy.

Así que $100! = 2^{50+25+12+6+3+1}*M$ donde $M$ es un número impar.

$100! = 2^{97}*M= 2^{3*32}*2*M= 8^{32}*2*M$ .

Así que $8^{32}|100!$ pero $8^{33}$ no lo hace.

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En general.

Para hallar la mayor potencia de primo $p$ que divide $N!$ darse cuenta de que de los términos $1..... N$ que $[\frac Np]$ de esos términos son múltiplos de $p$ así que $p^{[\frac Np]}$ dividirá $N!$ .

Sin embargo $[\frac N{p^2}]$ de esos términos no son sólo múltiplos de $p$ sino de $p^2$ y estos términos contribuyen $[\frac N{p^2}]$ adicional poderes de $p$ .

Repetir hasta terminar:

El poder supremo de $p$ dividiendo $100!$ será $p^{[\frac Np] + [\frac N{p^2}] + [\frac N{p^3}] + ......}$ .

En el caso de $2$ y $100!$ era

$2^{[\frac {100}2] + [\frac {100}4 ]+ [\frac {100}8] + [\frac {100}{16}[ + [\frac {100}{32}] + [\frac {100}{64}]}=2^{50 + 25 + 12+ 6 + 3+ 1}$ .