Como se trata de una cuestión de opinión, sólo puedo ofrecer mi opinión. Si escribes 5 páginas para 6 páginas de lectura (como mencionas en los comentarios), sin duda deberías cambiar algo. Personalmente, Siempre intento maximizar la relación contenido/longitud. En términos generales, también depende de lo que pretendo hacer; si se supone que es un resumen conceptual, me centraría en intuición algunos ejemplos clave, y sin pruebas. También intentaría escribir el significado intuitivo de ciertos términos con la mayor precisión posible, y omitir la definición formal (que de todas formas hay que conocer). En cuanto a las pruebas, generalmente las omito. (No porque piense que no son importantes, sino porque se pueden buscar más fácilmente.) Tal vez escriba algunas cosas sobre algunas técnicas de prueba estándar, por ejemplo, la partición de la unidad en la geometría diferencial, o algunas ideas clave. En cualquier caso no intente reescribir el libro de texto, es probable que sea una pérdida de tiempo. Además, siempre exprese las cosas con sus propias palabras. Si quiere un ejemplo concreto, cuénteme sobre las 6 páginas que leyó, y yo hago una nota de una página.
Resumiría el contenido del capítulo 2 de la siguiente manera. Obsérvese que no he incluido ninguna definición, sino que he hecho hincapié en el significado intuitivo, las estructuras y la forma en que las nociones se relacionan entre sí. También hice hincapié en lo que se puede hacer con $ \mathbf {R}$ (realizar todo tipo de operaciones, comparar elementos, etc.) y no "qué $ \mathbf {R}$ es" (es decir, cómo $ \mathbf {R}$ se construye). Para pensar, esto es a menudo más conveniente. Considere la pregunta relacionada: ¿cuáles son los números naturales $ \mathbf {N}$ ? La construcción es: $0:= \emptyset $ , $1:=\{ \emptyset\ }$ , $2:=\{ \emptyset ,\{ \emptyset\ }\}$ ...pero no es útil pensar en... $ \mathbf {N}$ de esta manera, porque desperdicia la capacidad del cerebro y las únicas cosas que realmente utiliza son los axiomas de Peano, el principio de inducción y el principio de buen orden.
Los números reales forman un campo ordenado completo, y por esta propiedad se determina hasta el isomorfismo de orden único (2-9). Así, los números reales están dotados de las siguientes estructuras: i) una estructura algebraica (2-1 a 2-3), la estructura de campo que rige la aritmética ( $+$ y $ \cdot $ ) de $ \mathbf {R}$ . ii) una estructura de orden que admite la comparación de los elementos de $ \mathbf {R}$ . Esta estructura de orden es compatible con la estructura algebraica (este es el axioma de orden, 2-3). La estructura de orden induce una estructura espacial métrica (a través del valor absoluto), dando una noción de distancia(2-5 a 2-6). Por la estructura de orden tenemos una noción de delimitación para subconjuntos de $ \mathbf {R}$ y para los conjuntos delimitados por encima (o por debajo), como lo es la noción de un límite superior supremo/mínimo superior (o un límite inferior mínimo/máximo). Hay una cierta dualidad entre el supremo y el mínimo, sustituyendo $ \leqslant $ por $ \geqslant $ . [Si quiere entender esto en detalle: vea aquí .]
El axioma de la completitud establece que todo lo que no esté vacío delimitado por encima de un subconjunto de $ \mathbf {R}$ tiene un supremo. (Intuitivamente esto significa que $ \mathbf {R}$ "no tiene agujeros", como $ \mathbf {Q}$ (esto está relacionado con el hecho de que $ \sqrt {2} \notin\mathbf {Q}$ aprender la prueba de esto: cada estudiante tiene que saberlo). Hay un elemento único de $ \mathbf {R}$ que es a la vez positivo y cuadrado para $2$ se denota $ \sqrt {2}$ (esto está probado por el principio de Arquímedes, lee la prueba pero no hay necesidad de aprenderlo de memoria o algo así). [El teorema 2.3.3 es bastante importante a efectos técnicos, pero volvería a él cuando lo necesite.]
Los números reales contienen los números racionales, que no es un campo completo. De hecho, los números reales son la finalización de $ \mathbf {Q}$ (es decir, " $ \mathbf {R}$ es $ \mathbf {Q}$ se ha completado"). Desde $ \sqrt {2}$ es irracional, $ \mathbf {Q}$ está debidamente incluido en $ \mathbf {R}$ y de hecho hay más números irracionales que racionales: $ \mathbf {Q}$ es contable, pero $ \mathbf {R}$ no lo es (prueba por el argumento de la diagonal de Cantor).
En respuesta a los comentarios: Cuando leo algo nuevo, primero trato de averiguar cuál es el núcleo del texto. ("Intentar" porque lo que se considera el núcleo dependerá necesariamente del nivel de su comprensión, y por lo tanto el "núcleo" depende del tiempo). Es decir, primero entiendo las definiciones más importantes, luego los principales teoremas (que forman el núcleo) sin mirar las pruebas ni nada. Luego considero resultados más específicos. Por ejemplo, para el capítulo 3: Definiciones: Secuencia, Secuencia Caucásica, Convergencia de una secuencia, Subsecuente. Teoremas: Thm. 3.1.1., Cor. 3.1.3, Thm. 3.1.4, Thm. 3.1.5, Thm. 3.3.3, Thm. 3.4.1, Thm. 3.6.1. En una primera lectura omitiría las secciones 3.2 y 3.5 por completo, por ejemplo, porque es un material bastante específico (pero útil, ¡vuelva más tarde!). Siempre trate de hacer el enlace con lo que ya ha aprendido. (Por ejemplo, ¿cómo es el hecho de que cada secuencia de Caucus en $ \mathbf {R}$ converge relacionado con el axioma de la completitud?) Las fotos pueden ayudar, pero no deben ser tomadas literalmente. Para descubrir lo que es el núcleo, no puedo decirte realmente cómo hacerlo, parece ser una cuestión de experiencia. Nunca he dicho que no debas escribir algo, debes escribir. Pero no te limites a copiar todos los teoremas, trata de entenderlos de varias maneras, su relación entre sí, considera los ejemplos. En algún momento vuelve, y pregúntate qué has aprendido: y escribe una breve nota como yo lo hice. También podría ayudarte si sabes por qué estás leyendo el texto: ¿quieres saber algo específico? ¿Quieres tener una visión general? ¿Quieres calcular algo?
