Ciertos tipos de valores tangentes.

Question

Estaba jugando con los valores de la función tangente y encontré algo interesante. Por ejemplo, tenemos$$\tan^2(\frac{\pi}{4\cdot2}) = \dfrac{\sqrt{4} - \sqrt{2}}{\sqrt{4} + \sqrt{2}}, \tan^2(\frac{\pi}{3\cdot4}) = \dfrac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{\sqrt{4} + \sqrt{3}}, \tan^2(\frac{\pi}{1\cdot1}) = \frac{\sqrt{1} - \sqrt{1}}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}.$ $

Todos estos valores satisfacen$$\tan^2(\frac{\pi}{m\cdot n}) = \dfrac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}.$ $

¿Cómo podría encontrar todos los pares$(m,n)$ que satisfacen la ecuación?

Answer 1

Respuesta incompleta : no puedo continuar con el último paso, pero creo que para aquellos con conocimientos matemáticos de nivel superior, podría ser posible.

Considere$$\tan^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right) =\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right)}=\frac{1-\cos^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right)}$ $ Deje$$x={\cos^2\left(\frac{\pi}{m\cdot n}\right)}$ $ entonces

$$ \frac{1-x}{x}=\dfrac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ $ Simplificando$$2x=\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt m}$ $

Tenga en cuenta que$$\cos\left(\frac{2\pi}{m\cdot n}\right)+1=2x$ $

Por lo tanto,$$\cos\left(\frac{2\pi}{m\cdot n}\right)=\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt m}-1=\sqrt{\frac nm}$ $