Una pregunta sobre las variedades topológicas y qué proporciona la topología.

Question

Cuando uno habla de un topológico colector de ser localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^{n}$ es esto significaba que la topología de la diversidad a nivel local es idéntico al de una topología Euclidiana de tal manera que podamos representar puntos en el colector (a nivel local) de la misma manera que podemos para $\mathbb{R}^{n}$, es decir, como $n$-tuplas de números reales?

Debo admitir que me parece el concepto de topología bastante confuso, he leído cosas como "una topología sobre un colector dota de una noción primitiva de estructura geométrica, sin la necesidad de introducir la noción de una métrica etc." ¿Qué significa exactamente esto? En la física, especialmente la teoría de la relatividad general, el espacio de tiempo es tomado como un topológica del colector, y sé que el colector tiene una topología definida en él es clave, pero yo no entiendo muy bien el significado conceptual de la misma?

Answer 1

En física se trabaja con sistemas de coordenadas de todos los tiempo, y uno de los cambios de los sistemas de coordenadas de todos los tiempo.

Antes de la teoría de la relatividad, en el universo de Newton, parecía que el espacio puede tener uno más-o-menos único "natural" del sistema de coordenadas, haciendo que el espacio de la vida real-copia de la matemática de la abstracción $\mathbb{R}^3$ --- único, es decir, hasta el de traslación y rotación de coordenadas, y hasta a los uniformes de la expansión de las coordenadas que equivale a una opción de unidad de distancia.

Después de la relatividad nadie espera que este tipo de singularidad de los sistemas de coordenadas más. Sin embargo, el espacio-tiempo de los sistemas de coordenadas que sigue siendo una herramienta clave de (no mecánica cuántica) de la física.

Entonces, ¿cómo hablar de espacio-tiempo si usted no tiene solo una gigantesca mundial natural sistema de coordenadas? Así que hablar de ella como la aplicación de parches juntos zillones de pequeña escala, sistemas de coordenadas, que podría o no ser natural en algunos de los "locales" de sentido. Pero para componer sistemas de coordenadas, como que, se necesita una teoría matemática, y eso es precisamente lo que la topología de la da.

El espacio-tiempo es un espacio topológico, lo que le da una estructura de "proximidad" en un lugar tosco sentido, o usted puede pensar en él como una estructura de "secuencias convergentes", y hay varias otras maneras en que podemos usar nuestra intuición para entender espacios topológicos en general. Matemáticamente, simplemente especificando qué subconjuntos son "abiertas", y se especifica un par de fondo de la roca axiomas que se pueden abrir establece que debe cumplir (véase la definición de una topología).

El próximo, el espacio-tiempo tiene sistemas de coordenadas; la roca de fondo mínimo característica es que los sistemas de coordenadas están dadas por homeomorphisms $\phi : U \to V \subset \mathbb{R}^4$ donde $U$ es un subconjunto abierto del espacio-tiempo y $V$ es un subconjunto abierto del espacio de coordenadas $\mathbb{R}^4$. El conjunto de dominios $U$ para estos sistemas de coordenadas debe cubrir todo el espacio-tiempo. Abrir-ness es importante por muchas razones, la mayoría de los teóricos básicos razón de ser que multivariable de cálculo realmente sólo tiene sentido cuando se trabaja con funciones cuyos dominios están abiertas subconjuntos del espacio Euclidiano.

Siguiente, aunque el espacio-tiempo de los sistemas de coordenadas no se supone que es "único" o "natural", sin embargo, si usted tiene dos espacio-tiempo de los sistemas de coordenadas en la superposición de abrir conjuntos de $U_1,U_2$ es necesario que la superposición de mapa entre los dos sistemas sea agradable de alguna manera. El dominio de la superposición del mapa es $\phi_1(U_1 \cap U_2)$ que es un subconjunto abierto de $V_1$ y, por tanto, un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^4$, su rango es de $\phi_2(U_1 \cap U_2)$ que es un subconjunto abierto $V_2$ y, por tanto, un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^4$, y la fórmula para este mapa es $\phi_2 \circ \phi_1^{-1}$. De nuevo el fondo de la roca del requisito mínimo en esta superposición del mapa es que el ser infinitamente diferenciable, por lo que todas las derivadas parciales de todos los órdenes de existir en todos los puntos (aquí es donde la apertura es más importante, con el fin de aplicar las herramientas de cálculo multivariable).

Siguiente, dependiendo de qué parte de la física que usted está trabajando, usted va a querer tener aún más la estructura de sus sistemas de coordenadas, y su superposición de los mapas deben respetar esta estructura. Por ejemplo, en la relatividad general desea que el extra de la estructura de varios tensores como una métrica de Lorentz y la tensión tensor de energía, y así sucesivamente.

Answer 2

Cuando decimos que un espacio topológico $X$ es topológico, colector de ser localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ si para cada una de las $x\in X$ existe un conjunto abierto $U$ contiene $x$ con una función continua $\phi_U:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $\phi_U$ induce un homeomorphism entre el$U$$\phi_U(U)$. Este es el terreno de la definición. El $(U,\phi_U)$ son llamados gráficos.

Ahora por lo general se requiere más "propiedades" (que son bastante técnicos, en la mayoría de los casos son evidentes), es decir, la topología en $X$ debe ser Hausdorff y contables en el infinito.

La idea detrás de su comilla (OMI), que por lo general usted simplemente no quiere trabajar con "topológico" múltiple pero desea trabajar en "diferenciable" colector o "holomorphic" colector (para nombrar algunos). Ahora, esas estructuras adicionales son bastante difícil de definir, de la nada.

Si $X$ es topológico, colector de un conjunto de gráficos $\{(U,\phi_U)\}$ nos dicen que definir un "diferenciable" colector si por cualquier gráfico de $U,V$ tal que $U\cap V\neq \emptyset$ tenemos que :

$$\phi_U\circ\phi_V^{-1}:\phi_V(U\cap V)\rightarrow \phi_U(U\cap V) $$

es un diffeomorphism. La observación de que ya sabemos que este es un homeomorphism pero debido a $\phi_V(U\cap V)$ $ \phi_U(U\cap V)$ están incluidos en $\mathbb{R}^n$ podemos hablar de diffeomorphism.

Por lo tanto vemos que para definir una estructura geométrica en el espacio $X$ necesitamos tener una estructura topológica del colector para $X$ y, a continuación, requieren que todos los de la transición a respetar la geometría de la estructura en cuestión.

Es por eso que el topológica del colector es la "primitiva noción de estructura geométrica" es una herramienta que nos permite poner algunos significativo de la estructura geométrica (diferenciable, holomorphic...) en un espacio.