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Demostrar que {2n \choose n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\leq{2n \choose n+k}

Para k\leq n ¿Cómo puedo demostrar que {2n \choose n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\leq{2n \choose n+k}\ ?

6voto

Did Puntos 1

Sugerencia: Si 0\lt a\leqslant b entonces \dfrac{a}b\leqslant\dfrac{a+1}{b+1} .

Aplicación: La pista da \dfrac{n-k}n\leqslant\dfrac{n-k+i}{n+i} por cada i\geqslant0 . Multiplicando estas desigualdades por 1\leqslant i\leqslant k se obtiene \left(\frac{n-k}n\right)^k\leqslant\frac{n-k+1}{n+1}\frac{n-k+2}{n+2}\cdots\frac{n}{n+k}=\frac{n!\,n!}{(n-k)!(n+k)!}. Por lo tanto, {2n\choose n}\left(\frac{n-k}n\right)^k\leqslant\frac{(2n)!}{n!\,n!}\,\frac{n!\,n!}{(n-k)!(n+k)!}=\frac{(2n)!}{(n-k)!(n+k)!}={2n\choose n+k}.

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