Demostrar que ${2n \choose n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\leq{2n \choose n+k}$

Question

Para $k\leq n$ ¿Cómo puedo demostrar que $${2n \choose n}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\leq{2n \choose n+k}\ ?$$

Answer 1

Sugerencia: Si $0\lt a\leqslant b$ entonces $\dfrac{a}b\leqslant\dfrac{a+1}{b+1}$ .

Aplicación: La pista da $\dfrac{n-k}n\leqslant\dfrac{n-k+i}{n+i}$ por cada $i\geqslant0$ . Multiplicando estas desigualdades por $1\leqslant i\leqslant k$ se obtiene $$ \left(\frac{n-k}n\right)^k\leqslant\frac{n-k+1}{n+1}\frac{n-k+2}{n+2}\cdots\frac{n}{n+k}=\frac{n!\,n!}{(n-k)!(n+k)!}. $$ Por lo tanto, $$ {2n\choose n}\left(\frac{n-k}n\right)^k\leqslant\frac{(2n)!}{n!\,n!}\,\frac{n!\,n!}{(n-k)!(n+k)!}=\frac{(2n)!}{(n-k)!(n+k)!}={2n\choose n+k}. $$