El conjunto de todos los $x$ tal que $xHx^{-1}\subseteq H$ es un subgrupo, cuando $H\leq G$

Question

Encontré este problema en un libro de texto de álgebra abstracta:

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Demostrar que $$\{x\in G:xax^{-1}\in H\text{ for every }a\in H\}$$ es un subgrupo de $G$ .

Es fácil demostrar que el conjunto es cerrado bajo la multiplicación, pero estoy atascado en demostrar que es cerrado bajo los inversos.

Si $H$ es finito, digamos $H=\{a_1,\ldots,a_n\}$ Supongamos que $x$ es un elemento del conjunto. Entonces $xa_1x^{-1},\ldots,xa_nx^{-1}$ son todos distintos, por lo que son exactamente $a_1,\ldots,a_n$ en algún orden. Por lo tanto, cualquier elemento $b\in H$ puede escribirse como $xcx^{-1}$ para algunos $c\in H$ y por lo tanto $x^{-1}bx=x^{-1}(xcx^{-1})x=c$ también está en $H$ . Así que $x^{-1}$ también es un elemento del conjunto.

Sin embargo, el método anterior no funciona si $H$ es infinito. La idea principal es demostrar que $x^{-1}ax\in H$ por cada $a\in H$ dado que $xax^{-1}\in H$ por cada $a\in H$ . Estaba tratando de hacer algunas sustituciones de $a$ para obtener el resultado requerido, pero no puedo conseguir el $x^{-1}$ a la izquierda.

Se agradecería cualquier ayuda. Tal vez valga la pena mencionar que acabo de empezar a aprender esto de la teoría de grupos durante unos días, así que por favor, ajuste su explicación en consecuencia.

Gracias de antemano.

Answer 1

La razón por la que tiene problemas para demostrarlo es que no es cierto como se ha dicho.

Para un ejemplo de mano dura, dejemos que $G$ sea el grupo libre en $x$ y $y$ y que $H$ sea el subgrupo generado por todos los elementos de la forma $x^nyx^{-n}$ con $n\gt 0$ .

Entonces, para cualquier $a\in H$ tenemos $xax^{-1}\in H$ . Sin embargo, $x^{-1}yx\notin H$ porque cualquier elemento de $H$ es una palabra que comienza con una potencia no negativa de $x$ .

Para solucionar el problema, se necesitaría $xHx^{-1}=H$ en lugar de $xHx^{-1}\subseteq H$ . Entonces tu argumento también pasaría en el caso infinito.

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Bien, aquí tienes un ejemplo que puedes conseguir (cortesía de mis apuntes de Matemáticas 257 con T.Y. Lam, primavera 97):

Dejemos que $G$ sea el grupo de todos los invertibles $2\times 2$ matrices con coeficientes en $\mathbb{Q}$ , $G=\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})$ .

Dejemos que $H$ sea el subgrupo dado por $$ H = \left\{\left.\left(\begin{array}{cc} 1 & m\\ 0 & 1\end{array}\right)\in G\ \right|\ m\in\mathbb{Z}\right\}.$$ Dejemos que $$x = \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right), \qquad x^{-1} = \left(\begin{array}{cc} \textstyle\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$$ Entonces, para cada $m\in\mathbb{Z}$ que tenemos: $$\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & m\\0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\textstyle\frac{1}{2}&0\\0&1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 2 & 2m\\0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \textstyle\frac{1}{2}&0\\0 & 1\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & 2m\\ 0 & 1\end{array}\right)\in H. \end{align*}$$ Así que $xHx^{-1}\subseteq H$ . Sin embargo, aunque $$ \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\in H,$$ tenemos $$\begin{align*} x^{-1}\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)x &= \left(\begin{array}{cc} \textstyle\frac{1}{2} & 0\\0 &1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\0&1\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} \textstyle\frac{1}{2}&\textstyle\frac{1}{2}\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&1 \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{cc} 1 & \textstyle\frac{1}{2}\\0&1\end{array}\right)\notin H. \end{align*}$$ Así que $x\in \{g\in G\mid ghg^{-1}\in H\text{ for all }h\in H\}$ pero $x^{-1}\notin\{g\in G\mid ghg^{-1}\in H\text{ for all }h\in H\}$ . Por tanto, el conjunto no tiene por qué ser cerrado bajo inversos.