Disco circular en movimiento entre dos curvas sinusoidales paralelas

Question

Encuentra el mayor radio del círculo que se puede "enrollar" entre las curvas $y = sin(x)$ y $y = sin(x)+1$ .

Después de dos semanas de investigación, finalmente me rindo.

Answer 1

El diámetro $d$ del círculo mayor viene dada por la distancia mínima entre las curvas, es decir $$d=\min_{x,y}\ \sqrt{ (y-x)^2 + (1+\sin(y)-\sin(x))^2} = \sqrt{\min_{u,v}\ 4u^2 + (1+2\sin(u)\cos(v))^2},$$ donde $u=\frac{y-x}{2}$ , $v=\frac{y+x}{2}$ . Obsérvese que cualquier par de $u,v$ define de forma única $x,y$ (y viceversa) y así podemos minimizar sobre $u,v$ en lugar de $x,y$ . Por lo tanto, tenemos $$d^2 = \min_{u,v}\ 4u^2 + (1+2\sin(u)\cos(v))^2 = \min_u\ \left(4u^2 + \min_v\ (1+2\sin(u)\cos(v))^2\right).$$

Sin pérdida de generalidad, suponemos que $\sin(u)\geq 0$ . Dividimos la minimización sobre $u$ en dos casos: $$\min_{u} \ldots = \min\left\{ \min_{u,\ \sin(u)\geq \frac{1}{2}} \ldots, \min_{u,\ \sin(u)< \frac{1}{2}} \ldots\right\}.$$

Caso 1: $\sin(u)\geq \frac{1}{2}$ . Entonces, tomando una $v$ podemos hacer $(1+2\sin(u)\cos(v))^2=0$ . Además, $\sin(u)\geq \frac{1}{2}$ implica $|u|\geq \frac{\pi}{6}$ . Así, el valor mínimo de $d$ en este caso es $\frac{\pi}{3}$ .

Caso 2: $\sin(u)<\frac{1}{2}$ . Para minimizar el $(1+2\sin(u)\cos(v))^2$ en este caso, tenemos que tomar $v$ tal que $\cos(v)=-1$ . Por lo tanto, tenemos que calcular $$\min_u 4u^2+(1-2\sin(u))^2.$$ Está claro que este mínimo no es superior a 1 y podemos restringir $u$ al intervalo $[0,\frac{1}{2}]$ . El mínimo se alcanza en el cero de la derivada $8u-4(1-2\sin(u))\cos(u)$ que es $u\approx 0.24737$ y da el diámetro $d \approx 0.71075$ .

Evidentemente, el caso 2 proporciona un valor menor y, por tanto, el diámetro mayor es $d \approx 0.71075$ .