Hilbert Nullstellensatz: el cambio de $\mathbb{C}$ $\overline{\mathbb{Q}}$y se quedó en la prueba

Question

(Débil) de Hilbert nullstellensatz: En $\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$, cada ideal maximal es de la forma $(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)$ algunos $(a_1,\cdots,a_n)\in\mathbb{C}^n$.

Prueba: (1) El $\{\frac{1}{x-a}:a\in\mathbb{C}\}$ es linealmente independiente en $\mathbb{C}(x)$. (Esto es cierto si $\mathbb{C}$ es reemplazado por cualquier campo; estoy en lo cierto?)

(2) Vamos a $M$ ser un ideal maximal en $\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$.

(3) Vamos a $\pi_1: \mathbb{C}[x_1]\rightarrow \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]/M$, $f(x_1)=x_1+M$ ser natural anillo de homomorphism.

(4) Supongamos que si es posible $\ker\pi_1=0$. A continuación, $\mathbb{C}[x_1]$ es isomorfo a sub-anillo de (cociente) de campo, por lo que debe ser materia, es decir,$\mathbb{C}[x_1]=\mathbb{C}(x_1)$. Ahora

• $\mathbb{C}(x_1)$ es de innumerables dimensión más de $\mathbb{C}$ ((1)).

• Pero $\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]/M$ es de contables de la dimensión en el $\mathbb{C}$, lo $\mathbb{C}(x_1)$ ha contables de la dimensión en el $\mathbb{C}$.

(5) Así, en (4) $\ker\pi_1$ es distinto de cero.

(6) a Continuación, una muestra que $\ker\pi_1=M\cap \mathbb{C}[x_1]$ contiene algunos polinomio $x_1-a_1$; del mismo modo, obtenemos $M$ contiene $x_i-a_i$ para algunos $a_i\in\mathbb{C}$ ($i=1,2,\cdots,n$). Esto completa la prueba.

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Pregunta: La forma débil es hasta valied si $\mathbb{C}$ es reemplazado por cualquier algebraicamente cerrado de campo. Tome $\overline{\mathbb{Q}}$, la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$. A continuación, $\overline{\mathbb{Q}}$ es contable, por lo $\{\frac{1}{x-a}:a\in\overline{\mathbb{Q}}\}$ ha contables dimensión; de modo que en (4) no llegamos directamente en contradicción, y así, por encima de prueba no funciona.

Mi pregunta es ¿podemos modificar la anterior prueba para $\overline{\mathbb{Q}}$ en lugar de $\mathbb{C}$?

Answer 1

Sólo porque (la imagen de) $x_1$ es invertible en a $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/M$, esto no implica que este inversa puede ser escrito como un polinomio en $x_1$.

Más bien, el argumento es que desde $\mathbb C[x_1]$ incrusta a través de $\pi_1$ en el campo $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/M$, esta incrustación se extiende a una incrustación de $\mathbb C(x_1) into $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/M$.

Ahora la dimensión argumento se aplica.

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Si reemplazamos $\mathbb C$ por una contables de campo, tales como $\overline{\mathbb Q}$, esta dimensión argumento no se aplica, y se necesita un argumento más sutil.

(Una situación similar ocurre en otros contextos donde uno puede hacer un countability argumento sobre el $\mathbb C$, por ejemplo, con Quillen del Lema, que se sigue de la misma especie de dimensión argumento con $\mathbb C$ coeficientes, pero necesita un argumento más sutil cuando el coeficiente de campo contable.)