tallo de la variedad proyectiva en términos de la coordenada anillo

Question

Deje $X \subseteq \mathbb{P}^n$ ser incrustado variedad proyectiva sobre algún campo $k$ con su correspondiente homogénea coordinar anillo de $R = k[X_0,\dots,X_n]/I(X)$. Vamos a seguir $X = \bigcup_{i=0}^n U_i$ ser el estándar de cobertura de $X$ afín variedades, y $p \in X$ algún punto. Cuando queremos considerar el tallo de $X$ $p$ podemos reducir a los afín caso desde $\mathcal{O}_{X,p} \cong \mathcal{O}_{U_i,p}$ si $p \in U_i$. Debido a esto el tallo en $p$ puede ser descrito en términos de la coordenada anillo de dehomogenizing : Vamos a por ejemplo,$p = (1 : p_1 : \dots : p_n) \in U_0$$\mathcal{O}_{X,p} \cong (R/(X_0-1))_{(X_1-p_1, \dots, X_n-p_n)}$.

Esta descripción, sin embargo depende de la elección de la particular afín a abrir sub-variedad de $U_i$ que contiene $p$. Hay otra (de unificación) manera de dar a $\mathcal{O}_{X,p}$ en términos de$R$, que no depende de la ubicación de $p$$X$?

Gracias de antemano!

Answer 1

Le proporciona una manera completamente arbitraria gradual anillo de $R$ (en particular, no se supone que es un dominio) y su asociada proyectiva esquema de $X=\text{Proj}R$, el tallo de la estructura de la gavilla $\mathcal O_X$ $\mathfrak p\in X$ es $$\mathcal O_{X,\mathfrak p}=R_{(\mathfrak p)}$$ Here $R_{(\mathfrak p)}\subconjunto R_{\mathfrak p}$ is the subring consisting of fractions $\frac r\pi$ where $i\in R, \pi\R\setminus \frak p$ son homogéneos elementos de la misma positivo de grado.

Referencias:
Hartshorne la Proposición 2.5 (a), página 76 o EGA II de la Proposición (2.5.5), página 31 o Miyanishi Lema 5.3(3), página 106.
No referencias:
Después de un superficial de verificación, he notado que el resultado parece ser la falta de dichos libros de texto como Bosch, Eisenbud-Harris, Görtz-Wedhorn, Qing Liu.
Esto no es ninguna crítica de estas excelentes referencias: obviamente, la escritura de libros de matemática implica decisiones difíciles sobre qué omitir.

Answer 2

Deje $K=\mathrm{Quot}(R)$ ser el cociente campo de la homogeneidad de las coordenadas del anillo. A continuación, el campo de funciones racionales en $X$ es isomorfo al subcampo $$L=\{f/g \in K \ | \ f,g \in R \ \text{are homogeneous with} \ \mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g) \}.$$ The local ring at a point $p$ is isomorphic to the subring of $L$ definida por $$\mathcal{O}_{X,p} \cong \{f/g \in L \ | \ g(p) \neq 0 \},$$ una descripción que se adapte a sus necesidades.

Answer 3

A menudo la estructura de la gavilla de $\mathrm{Proj}(A)$ (donde $A$ es un conmutativa gradual anillo) se construye a través de la pegadura de las afín a pedazos $D_+(f) \cong \mathrm{Spec}(A_{(f)})$. Pero en realidad, podemos escribirlo de forma explícita. Más generalmente, si $M$ es algunos graduales $A$-módulo, podemos escribir la gavilla $\widetilde{M}$ explícitamente. La idea es hacer la misma como en el afín caso, pero reemplazar localizaciones por homogéneos de localizaciones.

Recordemos que $\mathrm{Proj}(A)$ es el espacio homogéneo de primer ideales de $A$ que no contengan $A_+$. Deje $M$ ser clasificada $A$-módulo. Deje $U \subseteq \mathrm{Proj}(A)$ ser un subconjunto abierto. Definimos $\widetilde{M}(U)$ como un subconjunto de a $\prod_{\mathfrak{p} \in U} M_{(\mathfrak{p})}$ (aquí se $M_{(\mathfrak{p})}$ indica la homogeneidad de la localización de $M$$\mathfrak{p}$) que consta de las tuplas $(s_\mathfrak{p})$ tal que para todos los $\mathfrak{p} \in U$ hay algo de $\mathfrak{p} \in V \subseteq U$ abierta y homogénea de los elementos $m \in M$, $r \in A$ el mismo grado tal que para todos los $\mathfrak{q} \in V$ tenemos $r \notin \mathfrak{q}$ $\frac{m}{r} = s_\mathfrak{q}$ $M_{(\mathfrak{q})}$.

A partir de esta descripción es bastante claro que los $\widetilde{M}_\mathfrak{p} = M_{(\mathfrak{p})}$.

Después de escribir esta respuesta, me doy cuenta de que esto también se hace en Hartshorne del libro.