Inversa de la imagen de un cerrado subscheme

Question

Deje $f:X\to Y$ ser un surjective de morfismos de los esquemas, y $Z\subset Y$ cerrado subscheme corta con la secuencia exacta $$ 0\to I_Z \to \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_Z \to 0. $$ ¿Cuáles son las condiciones suficientes en $X$, $Y$, $Z$ y $f$ de manera tal que el esquema de la teoría de la inversa de la imagen $W$ $Z$ es un cerrado subscheme de $X$ con la secuencia exacta corta $$ 0\to f^*(I_Z) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_W \to 0 \quad? $$

Answer 1

Sólo para amplificar Martin responder, no será de corta secuencia exacta $$0 \to f^{-1} I_Z \to f^{-1} \mathcal O_Y \to f^{-1} \mathcal O_Z \to 0.$$ (El functor $f^{-1}$ es siempre exacta.)

Ahora nos tensor con $\mathcal O_Y$ sobre los recursos naturales mapa de $f^{-1}\mathcal O_Y \to \mathcal O_X$ para obtener una secuencia exacta $$0 \to Tor^1_{f^{-1}\mathcal O_Y}(\mathcal O_X, f^{-1}\mathcal O_Z) \to f^*I_Z \to \mathcal O_X \to \mathcal O_W \to 0.$$ Para el fin de obtener la breve secuencia exacta de preguntar acerca de, usted necesita el $Tor^1$ plazo hasta desaparecer.

Como Martin notas, esto es si $f$ plano. Más generalmente, usted puede pensar en él como una especie de condición de transversalidad en el mapa $f$ con respecto a la subscheme $Z$. (Por ejemplo, si $Y$ es una variedad lisa y $X$ $Z$ son suaves subvariedades de intersección de forma transversal en el sentido usual de la palabra, entonces este Tor plazo desaparecerán; aquí $f$ es sólo la inmersión de $X$ a $Y$.)

Answer 2

¿Ves ese $f^*(I_Z) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_W \to 0$ siempre es exacta? Así que la pregunta es, básicamente, sólo si $f^*(I_Z) \to \mathcal{O}_X$ es inyectiva. Esto es al $f$ plano.