Suma de los recíprocos de los números de impar que suman $2$

Question

Es bien sabido que ciertas sumas de recíprocos suman $2$ :

• los recíprocos de los poderes de $2$ :

$$ {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+ \cdots =2, $$

• los recíprocos de los números triangulares:

$$ {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+ \cdots =2, $$

• $ \ldots $

¿Hay alguna suma tal que $ \sum_ {i=0}^{ \infty } s_i^{-1}=2$ para el cual todos los $s_i$ son todos distintos números enteros positivos de impar?

Del mismo modo, ¿hay alguna suma tal que $ \exists k \in\mathbb {Z}, k>0$ de tal manera que $ \sum_ {i=0}^{k} s_i^{-1}=2$ para el cual todos los $s_i$ son todos distintos números enteros positivos de impar?

Answer 1

Si permite $\frac{1}{1}$ que parece que sí, a juzgar por su pregunta:

Prueba a sumar los recíprocos de $1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 63, 105, 135$ .

Se encuentra eligiendo un número abundante de impar, a saber $945$ y encontrar una suma de factores que sume $2\cdot 945$ :

$945+315+189+135+105+63+45+35+27+15+9+7=2\cdot 945$ .

A continuación, divide esta ecuación por $945$ reduciendo las fracciones individuales de la izquierda.

Answer 2

Podemos utilizar una variación del algoritmo codicioso para encontrar dicha secuencia de forma determinista.

En primer lugar, sumamos los números Impares recíprocos hasta que su suma supere $2$ :

$$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}<2$$

$$1+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}>2$$

Por lo tanto, empezamos con:

$$S_{7}=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}$$

1) Después de restar la suma nos queda:

$$2-S_{7}=\frac{2021}{45045}$$

Para encontrar el siguiente término necesitamos encontrar un número entero $m_1$ tal que:

$$\frac{1}{2m_1-1} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{2m_1-3}$$

Resulta que $m_1=12$ Porque..:

$$\frac{1}{23} < \frac{2021}{45045} < \frac{1}{21}$$

2) Después de restar, nos queda:

$$2-S_{7}-\frac{1}{23}=\frac{1438}{1036035}$$

Porque sí:

$$\frac{1}{721} < \frac{1438}{1036035} < \frac{1}{719}$$

Tenemos $m_2=361$ .

3) Después de restar, nos queda:

$$2-S_{7}-\frac{1}{23}-\frac{1}{721}=\frac{109}{106711605}$$

Lo encontramos:

$$\frac{1}{979007} < \frac{109}{106711605} < \frac{1}{979005}$$

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Así que por ahora tenemos:

$$2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{721}+\frac{1}{979007}+\dots$$

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Algunos comentarios . Podemos continuar de la misma manera obteniendo denominadores cada vez más grandes. No estoy seguro de si la secuencia será finita o no.

Si se nos permitiera utilizar todos los números enteros, entonces la secuencia será finita, porque $2$ es un número racional. También sabríamos que los denominadores crecerían aproximadamente como $a_{n+1} > a_n^2-a_n$ , lo que simplifica la búsqueda del siguiente.

En el caso de los enteros Impares las cosas se complican un poco más. Hasta ahora no se sabe si todos los números racionales con denominadores Impares producen una expansión gregaria impar finita.

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Si se nos permitiera cambiar de signo, por suerte, podemos encontrar una secuencia relativamente corta:

$$2=\sum_{n=1}^{7} \frac{1}{2n-1}+\frac{1}{23}+\frac{1}{715}-\frac{1}{94185}$$