prueba si $x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$ $x = y = z = 0$

Question

Bueno, he estado tratando de demostrar que:

$$x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz \implies x = y = z = 0$$

y han hecho poco progreso. Hasta ahora, sólo he sido capaz de probar que si esto va a suceder a continuación $x$, $y$ y $z$ debe ser par. Me estoy explicando cómo llegué a este resultado, pero no saben cómo proceder en el futuro o incluso calcular esto tendría sentido.

Si $x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$, entonces al menos uno de $x$, $y$ o $z$ debe ser un múltiplo de 2. Vamos que un número x y $2|x$. También vamos a $x = 2a$.A continuación, $4a^2 + y^2 + z^2 = 4ayz$.

Ahora suponga que una de $y$ o $z$ es impar. Así que el otro debe ser impar, así como raro y extraño agregar hasta incluso y necesitamos un número para hacer de la igualdad verdadera. Pero puede demostrarse que la suma de los cuadrados de dos números impares es nunca un múltiplo de $4$. A continuación, la LHS, ya no sería un múltiplo de 4 ($4a^2$ es un múltiplo de a $4$ pero $y^2 + z^2$ no lo está), mientras que el lado derecho sería. Este es un ello. Por lo tanto, $y$ $z$ ambos son incluso. Eso es lo que he podido probar hasta ahora, y todavía no sé si eso es útil.

Por favor, ayuda si usted tiene una respuesta.

Answer 1

La prueba de que $x,y,z$ son todos, incluso es correcta. Usted puede utilizar razonamiento similar para continuar.

Lema $1$: Si $x^2+y^2+z^2=2^n xyz$ para algunos $x,y,z\in\mathbb Z$, $n\in\mathbb Z^+$, a continuación, $x,y,z$ son todas iguales.

La prueba es análoga. $x,y,z$ no puede ser impar (porque la LHS, entonces sería impar y la RHS, incluso), así WLOG deje $x=2x_1$.

La ecuación se convierte en $4x_1^2+y^2+z^2=2^{n+1}x_1yz$, lo $4\mid y^2+z^2$, lo $y,z$ son ambos inclusive (usted sabe cómo demostrarlo).

Lema $2$: Si $x^2+y^2+z^2=2^nxyz$ para algunos $n\in\mathbb Z^+$, $x,y,z\in\mathbb Z$, $x=2x_1$, $y=2y_1$, $z=2z_1$, a continuación,$x_1^2+y_1^2+z_1^2=2^{n+1}x_1y_1z_1$.

La prueba es trivial. Lema $1$ $2$ juntos implica que si $x^2+y^2+z^2=2^nxyz$ para algunos $n\in\mathbb Z^+$, $x,y,z\in\mathbb Z$, a continuación, $x,y,z$ son divisibles por arbitrariamente grandes poderes de $2$.

I. e., para todos los $k\in\mathbb Z^+$ tenemos $2^k\mid x,y,z$, la cual sólo puede ser posible si $x=y=z=0$.

Answer 2

Usted está cerca de una respuesta. Asumiendo $x = 2a, y = 2b, z = 2c$, obtenemos $$ 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 16abc\\ a^2 + b^2 + c^2 = 4abc $$ Ahora aplicar el mismo razonamiento a ver que $a, b, c$ todos debemos ser incluso así. Y esto los lleva para siempre. Por lo tanto, $x, y, z$ debe ser infinitamente divisible por $2$, y el único número es $0$.

Answer 3

Ahora voy a probar otra afirmación: no Hay ninguna terna de enteros positivos que satisfacen la ecuación.

Supongamos que hay. Tome $2^k$ como el más grande poder de $2$ que dividen $x,y$$z$, de modo que $x=2^k\alpha$ $y=2^k\beta$ y $z=2^k\delta$. A continuación, en el lado izquierdo puede escribirse como $2^{2k}(\alpha^2+\beta^2+\delta^2)$. Ahora si reescribir RHS así y toman los factores comunes

$$ \alpha^2+\beta^2+\delta^2=2^{k+1}\alpha\beta\delta $$

cuando al menos uno de $\alpha,\beta,\delta$ es impar. El RHS en esta nueva ecuación es incluso entonces esto implica al menos dos de $\alpha,\beta,\delta$ es impar. Usted puede elegir uno incluso decir $\delta$ bu, a continuación, $\alpha^2=\beta^2=1(mod4)$ $\delta^2=0(mod4)$ pero, a continuación,$LHS=2(mod4)$$RHS=0(mod4)$. Así que esta es, obviamente, una contradicción.

Dado esto, entonces al menos uno de $x,y,z$ debe ser igual a cero, decir $z=0$, pero luego, ello implica tanto en $x=y=0$.