Sobre la definición del número de Liouville

Question

Definición : (de Wikipedia)

En teoría de números, un número de Liouville es un número real $x$ con la propiedad de que, para todo entero positivo $n$ existen números enteros $p$ y $q$ con $q > 1$ y tal que

$$ {\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.} $$

Así, un número de Liouville puede aproximarse "bastante" a una secuencia de números racionales. [....]

Mi pregunta: Cómo puedo convencerme de que la definición anterior no es arbitraria. En otras palabras, ¿qué tan bueno es saber que un número dado $\alpha$ es un número de Liouville?

Answer 1

No quiero ser ese tipo, pero todas las definiciones son arbitrarias. Una mejor pregunta sería "¿Hay algún número real que satisfaga mi definición?"

Afortunadamente, la definición de número de Liouville es "buena" en el sentido de que hay números reales que son números de Liouville. Quizá el más famoso sea Constante de Liouville : $$ \lambda = \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.1100010000000000000000010\ldots $$ Este número tiene un $1$ en cada lugar de su expansión decimal que sea igual a un factorial, y $0$ en todas las demás partes. Se puede comprobar que este número satisface directamente la definición de número de Liouville.

Una vez que sabemos que la definición es "buena" en el sentido de que hay ejemplos de objetos que la satisfacen, podemos plantearnos otras preguntas. ¿Pertenecen todos estos objetos a alguna clase de objetos más amplia y bien estudiada (son algebraicos o trascendentales)? ¿Cuántos objetos satisfacen la definición? Si viven en algún conjunto ambiental con estructura, ¿podemos decir algo sobre cómo encajan en ese universo (como si los números de Liouville forman un conjunto de medida cero en $\mathbb{R}$ )? ¿Son estos objetos "fundamentales" de alguna manera (como si todo número real pudiera escribirse como la suma de dos números de Liouville)?

Sin embargo, por mucho que me guste la teoría de los números trascendentales, también podemos hacernos la pregunta "¿realmente me importa que estas cosas existan?" Y desgraciadamente tengo que reconocer que el 99% de los matemáticos, y por tanto el 99,99999 $\cdots$ de los seres humanos, no tienen absolutamente ningún uso para los números de Liouville en una base de año a año, por no hablar de día a día. Creo que su valor es mucho más evidente desde una perspectiva educativa e histórica que desde la perspectiva de un matemático en activo. Y en ese sentido, se podría decir que no importa realmente si se sabe que un número determinado $\alpha$ es un número de Liouville.

Answer 2

Los números de Liouville son, de hecho, los números más irracionales en un sentido conocido como medida de irracionalidad, por lo que son los "más bonitos" en este sentido.

Definamos un medida de irracionalidad como el mínimo límite superior de $\mu$ donde $\mu$ satisface $$ 0 < |x - \frac{p}{q}| < \frac{1}{q^\mu}$$ para un número infinito de pares $(p,q)$ con $q > 0$ . Como se observa, esto tiene similitudes con la definición de los números de Liouville.

Un teorema conocido como el Teorema de Thue-Siegel-Roth afirma que $\mu(\alpha) = 2$ si $\alpha$ es un número entero algebraico. Tenemos que $\mu(e)= 2$ , $\mu(\pi) < 8$ y muchos otros. Los números de Liouville $\beta$ se puede demostrar que son los que satisfacen $\mu(\beta) = \infty$ .

Para ser justos, se podría objetar que esta medida sigue siendo algo arbitraria, pero el Teorema de Thue-Siegel-Roth muestra que contiene cierta relevancia para la distinción algebraico-trascendental.

Answer 3

$P$ es hipoelíptica si $u \in C^k$ y $Pu$ implican suavidad $u$ es suave.

Si encuentras esta definición (no rigurosa) de hipoelipticidad de un operador $P$ en un espacio de funciones que contiene funciones $u$ para facilitar las pruebas sobre la suavidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales como $Pu = f$ , donde $f$ es suave, entonces la definición de los números de Liouville no es nada arbitraria, ya que si dejamos que $P = \partial/\partial_x - \alpha \partial/\partial_y$ con $\alpha$ irracional, entonces P es hipoelíptico cuando (y sólo cuando) $\alpha$ ¡no es un número de Liouville!

Véase 'Global Hypoellipticity and Liouville Numbers' (Greenfield y Wallach) para más detalles.