Ampliación de homeomorphisms en el conjunto de Cantor

Question

Deje $C'$ ser los "extremos" del conjunto de Cantor $C$. Estos son los extremos de la falta de intervalos, y sabemos $C'\simeq \mathbb Q$.

Cada homeomorphism $h:C'\to C'$ extenderse a un homeomorphism de $C$?

¿Qué debo hacer si $\langle b_0,b_1,...,b_n,z,z,z, ...\rangle\leftrightarrow \langle b_0,b_1,...,1-b_n,z,z,z ...\rangle$? En otras palabras, mirando a $C'$ como eventualmente constante secuencias en $2^\omega$, y cambiar el valor de una secuencia en último lugar antes de que se mantiene constante? Que debe producir un homeomorphism, pero me pregunto si se extiende...

Answer 1

Su propuesta de mapa no es un homeomorphism, si he entendido correctamente - considerar la colección de secuencias de $a_0, a_1, a_2, \cdots$ donde $a_i$ es la secuencia que consta de $i$ que siguieron constante ceros. Esta secuencia de secuencias tiene límite de $\langle 1, 1, 1, \ldots\rangle$. El mapa de las correcciones de la secuencia, teniendo en $a_i$ $a_{i - 1}$- sino que lleva al límite a $\langle 0, 1, 1, \ldots\rangle$. Este mapa no es continuo, digamos un homeomorphism.

Nota: No están relacionados con homeomorphisms de $C'$, que se extienden a homeomorphisms de $C$. Deje $f_n$ ser el mapa que simplemente invierte la $n$th bits de la entrada. Cada una de las $f_n$ es ahora un homeomorphism (de cualquiera de las $C'$ o $C$, lo que le importan más).

Como si cada homeomorphism de $C'$ se extiende a un homeomorphism de $C$: sí, porque cada "irracional" punto de $r$ $C$ es un límite de "racional" de los puntos de $q_n$$C'$. Deje $h$ ser un homeomorphism de$C'$$C'$; toma cada clopen subconjunto de $C'$ a un clopen subconjunto de $C'$. Las imágenes de los intervalos alrededor de cada una de las $q_n$ que abarcan $r$ forma descendente secuencia de clopen establece alrededor de la $h(q_n)$. Desde $C$ es compacto, existe un (único) elemento de $C$ que se encuentra en el cierre de todas las de estos conjuntos en $C$ - esto puede ser $h(r)$. El resultado de la extensión de $h$ puede ser visto fácilmente a ser un homeomorphism.

Answer 2

Este tipo de problemas han sido bien estudiado: consulte este documento introducción.

El conjunto de Cantor es el polaco y el cero-dimensional y homogénea. Esto implica es PSL (fuertemente localmente homogénea): es una base de conjuntos de $U$ tal que para todos los $x,y \in U$ hay una homeomorphism $f$ $X$ tal que $f(x)=y$ $f(z) = z$ todos los $z \in X\setminus U$.

Otro teorema es que LCH polaco espacios son contables densa homogénea: si $D$ $E$ son contables denso en $X$, entonces hay un homeomorphism $h$ $X$ tal que $h[D] = E$. Esta no es la misma como la ampliación de una homeomorphism de los subconjuntos densos, aunque. Pero creo que el PSL propiedad combinado con el inductivo para el criterio de convergencia que permiten hacer esto para PSL polaco espacios, incluyendo el conjunto de Cantor.

Answer 3

No son fáciles de ejemplos de homeomorphisms que no puede ser extendida a $C$. Por ejemplo, $p \in (C\setminus C') \cap (0, \frac12)$ y definir $$h(x) = \cases{ 1 - x & if $p < x < 1-p$ \\ x & lo contrario.} $$ Esta es una función continua en a $C'$ porque $C' \cap (p, 1-p)$ es clopen en $C'$. También es su propio inverso, por lo que es un homeomorphism.

Desde $p$ no es un límite a punto de un intervalo de borrado, es un punto límite de ambos $C' \cap (0, p)$$C' \cap (p, 1-p)$. Por lo tanto, la oscilación de la $h$$p$$1-2p$, lo cual es positivo. De ello se desprende que $h$ no puede ser extender a una función continua en a $C$.