Teoría De Grupos, Subgrupos

Question

Si $H$ $K$ son subgrupos de un grupo de $G$, H$\cup K$ necesariamente un subgrupo de $G$?

Mi intento: He hecho dos subgrupos H y K de G.

$H=\{a^{-1},e,a\}$ $K=\{b^{-1},e,b\}$ Pero luego supuse que a,b$\in H\cup K$ y desde $a\in H$ $b\in K$ $a*b$ no pertenecen a $H$ o $K$ como quizás $F=\{(a*b)^{-1},e,(a*b)\}$ Existe una mejor manera de escribir esto, si a la derecha? Gracias.

Answer 1

La proposición Deje $H, K$ ser subgrupos de un grupo de $G$, $H \cup K$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$.

La prueba sólo si El lado es trivial. Suponga que $H \nsubseteq K$$K \nsubseteq H$. A continuación, podemos encontrar una $h \in H$ $h \notin K$ y simétricamente, una $k \in K$ witk $k \notin H$. Ahora mira a $hk$. Ciertamente, puesto que $H \cup K$ es un subgrupo, $hk \in H \cup K$. Por lo $hk \in H$ o $hk \in K$. Si $hk \in H$, decir $hk=h'$, $k=h^{-1}h' \in H$ una contradicción. Del mismo modo, $hk \in K$ conduce a una contradicción.

Answer 2

Deje $G=(\Bbb Z, +)$.

Usted puede pensar $3\Bbb Z\cup 5\Bbb Z$.

$3\in 3\Bbb Z\cup 5\Bbb Z$ $5\in3\Bbb Z\cup 5\Bbb Z$ , pero $3-5=-2\notin 3\Bbb Z\cup 5\Bbb Z$.

Por lo tanto, la unión de dos subgrupos no tiene que ser un subgrupo.