La diferenciabilidad para el límite uniforme de una manera uniforme delimitada secuencia de funciones

Question

Vamos a una secuencia $\{f_n\}\subset C^1(\mathbb{R})$ $f\in C(\mathbb R)$ tal que $f_n \to f$ uniforme y $f_n, f'_n$ son uniformemente acotada.

Pregunta : es $f \in C^1(\mathbb R)$ ?

Answer 1

Tome $f_n(x) = \sqrt{x^2+{1 \over n}}$. Tenemos $f_n \to | \cdot |$ de manera uniforme, y todos los derivados que están delimitadas (1), pero el límite no es $C^1$.

Jonas ha señalado un error en mi ejemplo. Creo que la siguiente es una revisión.

Deje $f_n(x) = \arctan \sqrt{x^2+{1 \over n}}$, $f_n \to \arctan \circ (| \cdot |)$ de manera uniforme, y todas las cantidades son limitadas.

Answer 2

Sugerencia: tomar $f(x) = \begin{cases} |x|, &|x|<1 \\ 1, &|x| \geq 1 \end{casos} $ and $f_n$ como su aproximación suave