Factorizar las funciones trigonométricas

Question

En fin factorise $x^2-1$ una forma de pensar que sería igual a cero y resolver para obtener $x=1$$x=-1$.

A continuación, puede escribir $x^2-1=(x+1)(x-1)$

Podemos hacer lo mismo con las funciones trigonométricas, yo.e

el pecado$x=0 \implies x=n\pi$, por lo que

el pecado$x=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)...$

Answer 1

Su idea es buena. Es bien sabido que la función del seno puede ser escrito como

$$\sin \pi x =\pi x \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^2/n^2)$$

Answer 2

No. Intente $x=\frac{1}{2}\pi$ y ver que no funciona.

Answer 3

Tenga en cuenta que en realidad las raíces de una ecuación cuadrática, usted no tiene una especificación completa. Lo mismo ocurre con $\sin$. Tenga en cuenta que $\sin(x)$ $2\sin(x)$ tienen la misma raíz, por ejemplo. También, usted debe ser muy cuidadoso con infinidad de productos como el que acabo de escribir hacia abajo.

Answer 4

Usted debe asegurarse de que la relación de ambos lados es un almacén de función. Desde que la relación sólo ha extraíble singularidades, es un complejo de la analítica de la función, el acotamiento implica entonces por el teorema de Liouville , que la relación es en realidad una constante.

Answer 5

Tipo de. El producto que usted está sugiriendo no converge, excepto en el punto de $x=n\pi$. Pero una variante que funciona.

La función de $\sin(\pi z)$ puede ser expresado como el producto infinito $$\pi z\prod_1^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right).$$ A partir de esto se puede obtener una infinita representación de los productos para $\sin x$ mediante el establecimiento $z=\frac{x}{\pi}$.

Este resultado se debe a Euler, y desempeñó un papel crucial en su famosa prueba del hecho de que $1+\frac{1}{ 2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}$.