Integral de la $\int_0^\infty\frac{1}{e^{x}-x} dx$

Question

Tengo curiosidad por saber si un cerrado de forma que existe para que la siguiente integral:

$$\int_0^\infty\frac{1}{e^{x}-x} dx$$

He intentado un par de métodos primarios en él, pero creo que esta integral (si es que tiene solución) sólo puede ser resuelto a través del análisis complejo del que no tengo conocimiento de trabajo. Wolfram no devolver cualquier forma cerrada. No estoy seguro si es de mucho uso, pero esta integral parece ser equivalente a $$\int_0^\infty\frac{x}{e^{x}-x} dx$$ Maybe this integral is related to the gamma function like $\int_0^\infty\frac{x^n}{e^{x}-1} dx$?

Answer 1

Aquí es un enfoque.

$$ \int_0^\infty\frac{1}{e^{x}-x} dx = \sum_{k=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}x^k e^{-kx-x}dx = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}\sim 1.359098277. $$

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Answer 2

Tenemos: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{e^x-x}&=&\int_{0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}e^{-(n+1)x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{+\infty}x^n e^{-x}dx\\&=&\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n-1)!}{n^n}.\end{eqnarray*}$$ No es una forma "cerrada", pero es bastante agradable.