¿Qué es un "normalizado de valoración" correspondiente a una valoración anillo?

Question

Me encontré con la frase "normalizado de valoración" similar a la siguiente:

Deje $A_i$ ser la valoración anillo de $k[x_1,...,x_n]_{\langle x_i\rangle}$ $v_i$ ser normalizados de valoración definidos por $A_i$.

Yo no sabía que este término antes, y una breve búsqueda en internet no me ayuda.

Lo que yo sé: podemos definir un mapa de $k[x_1,...,x_n]\smallsetminus\{0\}\to\mathbb{Z}$ mediante el envío de $f=gx_i^{n_f}$$x_i\nmid g$$n_f\in\mathbb{Z}$. A continuación, extender esto a $v:Q(k[x_1,...,x_n])^*=k(x_1,...,x_n)^*\to\mathbb{Z}$ través $\frac{f}{g}\mapsto n_f-n_g$, y este es un discreto valoración en $k(x_1,...,x_n)$ $k[x_1,...,x_n]_v=k[x_1,...,x_n]_{\langle x_i\rangle}$ como su discreta valoración anillo. Es el mapa de $v$ ya $v_i$ mencionado anteriormente? Se "normalizó", y ¿qué significa esto?

También, la definición del mapa de $v$ se basa en la $k[x_1,...,x_n]$ ser un UFD. Por el mismo argumento, $R_{\langle p\rangle}$ es un DVR si $R$ es un UFD y $p\in R$ prime. Me imagino que esto ya no se mantenga para los anillos de la forma $R_\mathfrak{p}$ donde $\mathfrak{p}\subset R$ es el primer en general? ¿Qué acerca de la $k[x_1,...,x_n]_{\langle x_1,x_2\rangle}$?

Gracias!

Answer 1

Una normalizado discreta valoración $v$ de un campo de $K$ significa que $v$ es un discreto valoración de $K$ tal que $v(K^*) = \mathbb{Z}$. En general, $v(K^*)$ puede ser cualquier subgrupo discreto de $\mathbb{R}$.

Answer 2

Para general el primer ideales $\mathfrak{p}\subseteq k[x_1,\ldots, x_n]$, el anillo local $k[x_1,\ldots, x_n]_\mathfrak{p}$ no va a ser un anillo de valoración, y por lo tanto no se defina una valoración. Pero eso no significa que usted no puede tomar en cuenta las valoraciones en un anillo; de hecho, es una cosa muy interesante que hacer!

Tomemos, por ejemplo, el anillo local $R = \mathbb{C}[x,y]_{(x,y)}$. Este no es un anillo de valoración, pero no tiene sentido considerar las valoraciones $\nu\colon R\to \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. De hecho, un lugar interesante libro (El Valuative Árbol por Favre y Jonsson) se ha escrito acerca de las valoraciones $\nu\colon R\to \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ satisfacer las propiedades:

1. $\nu$ sólo toma valores no negativos en $R$.
2. $\nu(z) = 0$ todos los $z\in \mathbb{C}^\times$.
3. $\nu(f)>0$ todos los $f$ en el ideal maximal $\mathfrak{m}$$R$.

Tal $\nu$ son llamados centrado en las valoraciones. Tales valoraciones también tienen una noción de normalizado. Decimos que una centrada en la valoración de $\nu$ está normalizado si $\min_{f\in \mathfrak{m}} \nu(f) = 1$. Resulta que el conjunto de la normalización de centrado valoraciones en $R$ tiene una interesante estructura combinatoria: es una $\mathbb{R}$-árbol.

El estudio de los espacios de las valoraciones de los anillos se está convirtiendo en un tema popular en estos días, a veces caer bajo el título de nonarchimedean geometría analítica o Berkovich geometría.