Yo no estoy seguro de cómo obtuvo la última expresión. El estándar de Sommerfeld de expansión (para más detalles, véase, por ejemplo, Ashcroft Y Mermin) da un poco diferente resultado, que es
$$
E_{F} \approx \mu\left[1+\frac{\pi^{2}}{8}\left(\frac{k_{B}T}{\mu}\right)^{2}\,\right)^{2/3} \approx \mu\left[1+\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k_{B}T}{\mu}\right)^{2}\right]
$$
al líder de la no-trivial orden en $k_{B}T/\mu$, es decir, $O\big((k_{B}T/\mu)^{2}\big)$.
(He puesto $E_{0}=0$ en la expresión de la Wikipedia.)
Podemos invertir esta relación mediante la sustitución de $\mu = E_{F}\left[1 + c_{2} (k_{B}T/E_{F})^{2} + \cdots \right]$ en el de arriba. Es decir,
$$
E_{F} = E_{F}\left[1 + c_{2} (k_{B}T/E_{F})^{2} + \cdots \right]\left\{1+\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k_{B}T}{E_{F}}\right)^{2}\left[1 + c_{2} (k_{B}T/E_{F})^{2} + \cdots\right)^{-2}\right\}.
$$
Comparando el orden cero de términos en $k_{B}T/E_{F}$ a ambos lados de la ecuación anterior, simplemente obtener $E_{F}=E_{F}$. La comparación de los términos de segundo orden, tenemos $0 = \frac{\pi^{2}}{12} + c_{2}$. Por lo tanto
$$
\mu = E_{F}\left[1-\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k_{B}T}{E_{F}}\right)^{2}\right]
$$
hasta el $O\Big((k_{B}T/E_{F})^{2}\Big)$.
Para determinar el siguiente orden de corrección, a $\mu$, se debe incluir un término de orden superior en la Sommerfeld de expansión, lo que da
$$
E_{F} \approx \mu\left[1+\frac{\pi^{2}}{8}\left(\frac{k_{B}T}{\mu}\right)^{2}+\frac{7\pi^{4}}{640}\left(\frac{k_{B}T}{\mu}\right)^{4}\,\right]^{2/3}.
$$
La expansión de este a $O\big((k_{B}T/\mu)^{4}\big)$, la sustitución de $\mu = E_{F}\left[1 + c_{2} (k_{B}T/E_{F})^{2} + c_{4} (k_{B}T/E_{F})^{4}+\cdots\right]$ (a los que ya hemos determinado $c_{2}$ antes) en ella, y luego la coincidencia de los coeficientes de ambos lados hasta el $O\Big((k_{B}T/E_{F})^{4}\Big)$ conducirá al resultado deseado.
