$X_1,X_2,\dots,X_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ . Derive un intervalo de confianza para $\mu+\sigma$ y $\mu/\sigma$

Question

Sé cómo encontrar el intervalo de confianza para cada uno de los parámetros $\mu$ y $\sigma$ resectivamente pero atascado en la búsqueda para las funciones paramétricas anteriores.

Answer 1

Supongamos que $\mu$ se estima mediante $\bar{X}$ y $\sigma$ se estima con $S=\sqrt{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2/(n-1)}$ . Para $\mu/\sigma$ el estimador $\bar{X}/S$ resulta que sigue una escala no central $t$ -distribución , con d.f. $n-1$ , ncp $\sqrt{n}\mu/\sigma$ y la escala $1/\sqrt{n}$ . Con un poco de álgebra sencilla podemos calcular un $95\%$ CI como: $$\frac{1}{\sqrt{n}}\left(t_{0.025,n-1,\sqrt{n}\mu/\sigma},\quad t_{0.975,n-1,\sqrt{n}\mu/\sigma}\right).$$

Para $\mu+\sigma$ es mucho más complicado, aunque $\bar{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n)$ y $S\sim(\sigma/\sqrt{n-1})\chi_{n-1}$ son independientes, por lo que, en principio, se puede calcular la distribución de muestreo de forma "directa", pero imagino que la derivación será complicada. Se recomienda el uso de la técnica de "bootstrap".

Aquí voy a dar un ejemplo de R en el cálculo de CIs con bootstrap:

library(boot)

# statistics to bootstrap
SUM = function(data, ind) {
  mean(data[ind]) + sd(data[ind])
}
RATIO = function(data, ind) {
  mean(data[ind]) / sd(data[ind])
}

# simulate data
mu = 2
sigma = 9
n = 1000
X = rnorm(n, mu, sigma)

# bootstrap
X.boot1 = boot(data = X, statistic = SUM, R = 10000)
X.boot2 = boot(data = X, statistic = RATIO, R = 10000)

boot.ci(X.boot1, type = c("norm", "basic", "bca"))
boot.ci(X.boot2, type = c("norm", "basic", "bca"))

# theoretical result
ncp = sqrt(n) * mu / sigma
c(qt(0.025, n - 1, ncp) / sqrt(n), qt(0.975, n - 1, ncp) / sqrt(n))

Comparación para los IC de $\mu/\sigma$ más o menos cerca:

> boot.ci(X.boot2, type = c("norm", "basic", "bca"))
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 10000 bootstrap replicates

CALL : 
boot.ci(boot.out = X.boot2, type = c("norm", "basic", "bca"))

Intervals : 
Level      Normal              Basic                BCa          
95%   ( 0.1742,  0.3004 )   ( 0.1731,  0.3005 )   ( 0.1739,  0.3009 )  
Calculations and Intervals on Original Scale
> c(qt(0.025, n - 1, ncp), qt(0.975, n - 1, ncp)) / sqrt(n)
[1] 0.1598871 0.2855220

Answer 2

Suponiendo que ambos $\mu,\sigma$ son desconocidos, podemos construir una región de confianza de Bonferroni para $(\mu,\sigma)$ :

Con la notación habitual, dejemos que $$L_1(\mathbf X)=\overline X-t_{\alpha/4,n-1}\frac{S}{\sqrt n}\quad,\quad L_2(\mathbf X)= \overline X+t_{\alpha/4,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$ y

$$L_3(\mathbf X)=\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/4,n-1}}}\quad,\quad L_4(\mathbf X)=\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/4,n-1}}}$$

Entonces, $$P_{\mu}\left[\mu\in (L_1,L_2)\right]=1-\frac{\alpha}{2}\quad\forall \,\mu\quad\text{ and }\quad P_{\sigma}\left[\sigma\in (L_3,L_4)\right]=1-\frac{\alpha}{2}\quad\forall\,\sigma$$

Combinando ambas probabilidades, obtenemos $$P_{\mu,\sigma}\left[L_1<\mu<L_2,L_3<\sigma<L_4\right]\ge 1-\alpha\quad\forall\,\mu,\sigma\tag{*}$$

Eso es, $(L_1,L_2)\times (L_3,L_4)$ es una región de confianza (conjunta) de dos lados para $(\mu,\sigma)$ con un coeficiente de confianza de al menos $1-\alpha$ .

Se deduce de $(*)$ que $$P_{\mu,\sigma}\left[L_1+L_3<\mu+\sigma<L_2+L_4\right]\ge 1-\alpha\quad\forall\,\mu,\sigma$$

Supongo que algo similar puede decirse de una declaración de probabilidad que implique $\mu/\sigma$ .