Distancia mínima media entre $n$ los puntos generan i.i.d. con dist. uniforme.

Question

Dejemos que $U$ se distribuya uniformemente en $[0,a]$ . Ahora supongamos que generamos $n$ puntos independientes según $U$ .

¿Cuál es la distancia mínima media entre estos $n$ ¿puntos? Es decir \begin{align} E\left[ \min_{i,j\in [1,n]: i\neq j} |U_i-U_j|\right] \end{align}

¿Es ésta una formulación correcta de la distancia mínima media entre?

Answer 1

Supongamos que $a=1$ para simplificar. Sea $M$ sea la distancia mínima entre estos $n$ puntos. Nota: $M$ es siempre como máximo $\frac1{n-1}$ que se produce cuando los puntos están uniformemente espaciados. Para calcular $EM$ primero calculamos $P(M>m)$ , para $0\le m \le 1/(n-1)$ .

$P(M>m)$ es, por simetría, igual a $n!$ veces $P(M>m\text{ and } U_1<U_2<\dots<U_n)$ y la probabilidad de este último es el volumen del subconjunto siguiente $S$ del hipercubo unitario $Q=[0,1]^n$ : $$ S = \{(x_1,\dots,x_n)\in Q:x_i+m\le x_{i+1}\text{ for }i=1,\dots,n-1\} $$ Ahora, considera la transformación $f:S\to [0,1]^n$ dado por $$ (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,x_2-m,x_3-2m,\dots,x_n-(n-1)m) $$ Un poco de reflexión muestra que $f$ es un biyección que preserva el volumen de $S$ a la región $S'$ del hipercubo menor $Q'=[0,1-(n-1)m]^n$ dado por $$ S'=\{(y_1,\dots,y_n)\in Q':y_i\le y_{i+1}\text{ for }i=2,\dots,n-1\} $$ El volumen de $S'$ es, por simetría de permutación del $y_i$ , igual a $1/n!$ veces el volumen de $Q'$ , que es sólo $(1-(n-1)m)^n$ . Poniendo todo esto junto, $$ P(M>m)=n!\cdot \text{Vol}(S)=n!\cdot \frac1{n!}(1-(n-1)m)^n=(1-(n-1)m)^n $$ y por lo tanto $$ \begin{align} EM =\int_0^{1/(n-1)}P(M>m)\,dm &=\int_0^{1/(n-1)}(1-(n-1)m)^n\,dm\\ &=\frac{1}{n-1}\frac{(1-(n-1)m)^{n+1}}{n+1}\Big|_{0}^{1/(n-1)}\\ &=\boxed{\frac{1}{n^2-1}} \end{align} $$ Para obtener la respuesta del intervalo $[0,a]$ simplemente multiplique este resultado por $a$ .