Justificando la distribución para el estimador de máxima verosimilitud en una regresión lineal ejemplo

Question

Los datos de $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ es modelado con $x_i$ no aleatorio y $y_i$ de los valores observados de $$Y_i = \alpha + \beta (x_i - \bar x) + \sigma \epsilon_i$$ with $\epsilon_i \sim N(0,1)$.

He calculado el MLE de los parámetros $\alpha, \beta$ $\sigma^2$ $\hat \alpha = \bar y$ y $$\hat \beta = \frac{\sum y_i(x_i - \bar x)}{\sum (x_i - \bar x)^2}$$ we now have a corresponding estimator for $\beta$ given by $$B = \frac{\sum Y_i(x_i - \bar x)}{\sum (x_i - \bar x)^2}$$ which apparently (according to my notes) is normally distributed with a mean of $\beta$ and a variance of $$\sigma^2 \over \sum(x_i - \bar x)^2$$ y no puedo justificar a mí mismo por qué este es el caso! Podría alguien por favor ayudar a explicar esto? Gracias!

Answer 1

Paso 1: General: Reconocer que $(x_i - \bar x)$, y su plaza, y $\frac{1}{\sum (x_i - \bar x)^2}$ son constantes, no variables aleatorias. Además tenga en cuenta que $\alpha$ $\beta$ $\sigma$ son también constantes. Primero escribo $B$ como producto de una constante por una expresión que contiene una variable aleatoria. Enfoque cuidadosamente en la parte que no es sólo una constante y, a continuación, tratar con esa constante después de que la parte funcionado.

Paso 2: Expectativa: Recuerde que la expectativa de una suma es la suma de las expectativas. Observe que usted puede tomar la expectativa dentro de la suma y, a continuación, mueva $(x_i - \bar x)$ fuera de esa expectativa. Aviso usted tiene otra expresión para $Y_i$ que puede utilizar. Mire de nuevo al paso 1 y dividir la expectativa y tire de las constantes en la forma apropiada. Lo que queda es trivial encontrar la expectativa de.

Paso 3: Varianza: Desde la $Y$s son independientes, la varianza de una suma es la suma de las varianzas. Usted también debe saber que un hecho acerca de la varianza de una constante por una variable aleatoria que se deben utilizar (más de una vez).

Es realmente nada más que las propiedades básicas de la expectativa y de la varianza y el uso de los hechos de que ya existe en su pregunta.